Convergenza non monotonica nel problema del punto fisso

sfondo

Sto risolvendo una variante dell'equazione di Ornstein-Zernike dalla teoria liquida. In astratto, il problema può essere rappresentato come soluzione del problema del punto fisso , dove A è un operatore integro-algebrico e c ( r ) è la funzione di soluzione (la funzione di correlazione diretta OZ). Sto risolvendo tramite l'iterazione di Picard, in cui fornisco una soluzione di prova iniziale c 0 ( r ) e genera nuove soluzioni di prova mediante lo schema c j + 1 = α $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$ dove α è un parametro regolabile che controlla il mix di c e A c utilizzati nella prossima soluzione di prova. Per questa discussione, supponiamo che il valore di α non sia importante. Ripeto fino alla iterazione converge con una tolleranza desiderata, ε : Δ j + 1 ≡ ∫ d → r | c j + 1 ( r ) -

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$$\alpha$$\epsilon$ Nella mia variante del problema, A dipende da un parametro λ e la mia domanda è su come la convergenza di A c = c dipende da questo parametro. $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

Per un ampio intervallo di valori per , lo schema di iterazione sopra converge esponenzialmente rapidamente. Tuttavia, quando diminuisco λ , alla fine raggiungo un regime in cui la convergenza è non monotonica, nella foto sotto. $\lambda$$\lambda$

Domande chiave

Nelle soluzioni iterative ai problemi a virgola fissa, la convergenza non monotonica ha qualche significato speciale? Segnala che il mio schema iterativo è sull'orlo dell'instabilità? Soprattutto , la convergenza non monotona dovrebbe farmi sospettare che la soluzione "convergente" non sia una buona soluzione al problema del punto fisso?

$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. $\lambda$

2. Se la tua soluzione è convergente all'interno di una tolleranza relativa stabilita correttamente che tiene conto anche di piccoli numeri, allora ha.