Come posso approssimare un integrale improprio?

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Ho una funzione $f(x,y,z)$ tale che
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$
è finito e voglio approssimare questo integrale.

Conosco le regole di quadratura e le approssimazioni di integrali di monte carlo, ma vedo alcune difficoltà nel metterle in atto in un dominio infinito. Nel caso del monte carlo, come si fa a campionare una regione infinita (specialmente se le regioni che contribuiscono in modo più significativo all'integrale sono sconosciute)? Nel caso della quadratura, come posso trovare i punti ottimali? Dovrei semplicemente riparare una regione arbitrariamente grande centrata attorno all'origine e applicare regole di quadratura sparsa? Come posso fare per approssimare questo integrale?

monte-carlo quadrature

— Paolo
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In una dimensione, puoi mappare il tuo intervallo infinito su un intervallo finito usando l'integrazione per sostituzione, ad es

\int_{un'}^{B} f (X) d X = \int_{u^{- 1} (un')}^{u^{- 1} (B)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

Dove è una funzione che si spegne all'infinito in un intervallo finito, ad es. : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

È quindi possibile utilizzare qualsiasi normale routine di quadratura numerica per l'integrale finito modificato.

La sostituzione di più variabili è un po 'più complicata, ma è abbastanza ben descritta qui .

— Pedro
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È molto interessante ... non ho mai nemmeno considerato la possibilità di sostituzione! Ma la scelta della funzione

ha qualche effetto sull'accuratezza dell'approssimazione?

u (t)

$u(t)$

— Paolo

@Paul: Sì, sicuramente! La funzione

dovrebbe essere il più fluida possibile in modo da mantenere

più regolare possibile, consentendo così un'integrazione più accurata.

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro,

È vero, ma quello che avevo in mente era la velocità con cui u (t) converge all'infinito? Ciò influisce anche sulla precisione?

— Paolo

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@Paul: non so se capisco correttamente la tua domanda, ma la funzione deve finire all'infinito in un punto o nell'altro. Se ci vuole tempo e poi cresce bruscamente, questo introdurrà alcuni grandi gradienti in

, il che rende più difficile l'integrazione e potrebbe quindi influire sulla precisione.

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro,

1

Il tuo derivato per la tangente era sbagliato; L'ho riparato.

— JM,

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Il modo standard di farlo è quello di estrarre dall'espressione per un prefattore esponenziale, trasformarlo in , e quindi usare le regole di quadratura gaussiana (o Gauss Kronrod) con questo come peso. Se è regolare, questo di solito dà risultati eccellenti. $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

In , lo stesso funziona con il peso , e appropriate formule cubature possono essere trovate, ad esempio, nel libro di Engels, quadratura numerica e cubatura. $R^3$ $e^{-|x|^2}$

Le formule online sono disponibili su http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

— Arnold Neumaier
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Funziona bene se il tuo integrando è approssimativamente exp (-x ^ 2). Se il tuo integrando è approssimativamente normale, ma centrato rispetto all'origine, questo approccio può funzionare male.

— John D. Cook,

1

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

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Per la quadratura unidimensionale, puoi controllare il libro su Quadpack (un vecchio d'oro ma ancora molto rilevante nella quadratura unidimensionale) e le tecniche utilizzate nell'algoritmo QAGI, un integratore automatico per un intervallo infinito.

Un'altra tecnica è la formula della quadratura a doppia esponenziale, ben implementata per un intervallo infinito da Ooura .

Per la cubatura, puoi consultare l' Enciclopedia delle formule di cubatura di Ronald Cools.

— GertVdE
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Si noti che la quadratura a doppia esponenziale è essenzialmente un metodo di sostituzione; fai una sostituzione che trasforma il tuo integrale a portata infinita in un altro integrale a portata infinita il cui tasso di decadimento è, beh, doppia esponenziale ...

— JM

1

@JM Corretto. E lo fai per ottenere il meglio dalla formula di somma di Euler-Mclaurin per la regola del trapezio, così come la trasformazione IMT e la trasformazione TANH. Un bel documento sulla storia del DE scritto da uno dei padri fondatori può essere trovato qui

— GertVdE

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Se ricordi come funzionava la quadratura, allora saprai anche un modo per approssimare gli integrali infiniti. Vale a dire: per la quadratura, approssimate la funzione $f(x)$ vuoi integrarti con qualcosa di simile, per esempio un polinomio $\tilde f(x)$ (o un polinomio a tratti) per il quale è possibile scrivere analiticamente l'integrale. Hai capito $\tilde f$ a partire dal $f$ per interpolazione nei punti di interpolazione - che saranno quindi i tuoi punti di quadratura.

Per infiniti integrali, un approccio usa esattamente lo stesso pensiero. Ad esempio, potresti provare ad approssimare $f(x)$ sull'intera linea usando una funzione più semplice, ad es $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ con un polinomio $p(x)$ che interpola $f(x)e^{x^2}$ in un certo numero di punti. Esistono quindi semplici formule per il calcolo dell'integrale $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$ . La scelta dei punti di interpolazione segue una logica simile a quella della consueta derivazione in quadratura.

— Wolfgang Bangerth
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Se si desidera utilizzare l'integrazione Monte Carlo, è possibile iniziare utilizzando il campionamento di importanza con un campionatore che approssima approssimativamente il proprio integrando. Migliore è il tuo campionatore corrisponde al tuo integrando, minore sarà la varianza nelle tue stime integrali. Non importa che il tuo dominio sia infinito purché il tuo campionatore abbia lo stesso dominio.

— John D. Cook
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