Perché la dimensione temporale è speciale?

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In generale, ho sentito gli analisti numerici pronunciare questa opinione

"Certo, matematicamente parlando, il tempo è solo un'altra dimensione, ma il tempo è speciale"

Come giustificarlo? In che senso il tempo è speciale per la scienza computazionale?

Inoltre, perché spesso preferiamo usare le differenze finite (che portano allo "stepping temporale"), per la dimensione temporale, mentre applichiamo differenze finite, elementi finiti, metodi spettrali, ..., per le dimensioni spaziali? Una possibile ragione è che tendiamo ad avere un IVP nella dimensione temporale e un BVP nelle dimensioni spaziali. Ma non penso che questo lo giustifichi pienamente.

pde discretization

— Patrick
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La causalità indica che le informazioni fluiscono solo nel tempo e che gli algoritmi dovrebbero essere progettati per sfruttare questo fatto. Gli schemi di time stepping lo fanno, mentre i metodi spettrali global-in-time o altre idee no. La domanda è ovviamente perché tutti insistono nello sfruttare questo fatto, ma è facile da capire: se il tuo problema spaziale ha già un milione di incognite e devi fare 1000 passi temporali, allora su una macchina tipica oggi hai abbastanza risorse per risolvere il problema spaziale da solo un timestep dopo l'altro, ma non hai abbastanza risorse per affrontare un problema accoppiato di $10^9$ incognite.

La situazione non è in realtà molto diversa da quella che hai con le discretizzazioni spaziali dei fenomeni di trasporto. Certo, puoi discretizzare una pura equazione di 1d avanzamento usando un approccio accoppiato globalmente. Ma se ti interessa l'efficienza, l'approccio di gran lunga migliore è quello di utilizzare uno sweep a valle che trasporta informazioni dall'afflusso alla parte di deflusso del dominio. Questo è esattamente ciò che fanno gli schemi di stepping in tempo.

— Wolfgang Bangerth
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Questo è un buon punto ... la memoria è sicuramente un grosso limite! :)

— Paul

Sicuramente vedo il punto che la causalità viene naturalmente con differenze finite, ma non con "accoppiamento globale". Al contrario, i "metodi di tiro" per risolvere i BVP fanno il contrario. Introduce causalità indesiderata. Dal punto di vista analitico, per determinate equazioni (ad es. PDE iperboliche di secondo ordine) è necessaria la unicità. Tuttavia, in alcuni casi, non lo è, e immagino che uno potrebbe benissimo fare anche metodi spettrali nel tempo. Come dici tu, penso che anche ridurre le dimensioni del sistema sia grande. E ha più senso fare FD in tempo che in qualche dimensione spaziale arbitraria.

— Patrick,

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Simile alla causalità di cui parla Wolfgang nel suo post, potremmo vedere il motivo per cui la dimensione temporale è speciale dal punto di vista dello spaziotempo di Minkowski: $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Lo spaziotempo tridimensionale ha un prodotto interno definito come $(3+1)$

(UN, B) = {UN}_{X} B_{X} + {UN}_{y} B_{y} + {UN}_{z} B_{z} - \frac{1}{c^{2}} {UN}_{t} B_{t}

$(A,B) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z - \dfrac{1}{c^2}A_t B_t$

A

$A$

B

$B$

A = A_{x} d x + A_{y} d y + A_{z} d z + A_{t} d t

$A = A_x \rd x + A_y \rd y + A_z \rd z + A_t \rd t$

B

$B$ è definito in modo simile, l'intuizione alla base della definizione di un prodotto interno (o meglio, metrico) è di imporre l'idea di velocità della luce assoluta, in modo tale che due diversi punti (eventi) nello spaziotempo abbiano distanza zero (accade al "stesso tempo", come se osservassimo il movimento di galassie a miliardi di anni luce di distanza come se si stessero muovendo proprio ora) se si trovano sullo stesso cono di luce.

$c$ $(3+1)$

Forse fuori tema, ma un'altra grande differenza di spazio rispetto allo spaziotempo (ellittica vs iperbolica) è che la maggior parte delle equazioni ellittiche modellano l'equilibrio e l'ellitticità ci dà regolarità "piacevole", mentre ci sono tutti i tipi di discontinuità nei problemi iperbolici (shock, rarefazione, eccetera).

EDIT: Non so che ci sia un articolo dedicato sulla differenza oltre a darti la definizione, basato su ciò che ho imparato prima, equazione ellittica tipica come l'equazione o l'elasticità di Poisson, modella un fenomeno statico, ha una soluzione "liscia" se i dati e i confini del dominio di interesse sono "lisci", ciò è dovuto all'ellitticità (o meglio a dire la proprietà definita positiva) dell'operatore differenziale dominante, questo tipo di equazioni ci porta a un approccio di tipo Galerkin molto intuitivo (moltiplicare una funzione di test e l'integrazione per parti), il tipico elemento finito continuo continuo funziona bene. Cose simili si applicano all'equazione parabolica come l'equazione del calore, che è essenzialmente un'equazione ellittica che marcia nel tempo, ha una proprietà "levigante" simile, un angolo acuto iniziale verrà attenuato nel tempo,

Per un problema iperbolico, normalmente derivato da una legge di conservazione, è "conservativo" o "dispersivo". Ad esempio, l'equazione di avanzamento lineare, descrivendo i flussi di una certa quantità con un campo vettoriale, conserva come questa quantità specifica sia inizialmente, appena si sposta spazialmente lungo questo campo vettoriale, le discontinuità si propagheranno. L'equazione di Schrodinger, un'altra equazione iperbolica, tuttavia, è dispersiva, è la propagazione di una quantità complessa, uno stato iniziale non oscillatorio diventerà diversi pacchetti di onde oscillatorie nel tempo.

Come hai detto "time-stepping", potresti pensare che la quantità "scorre" nei "campi" temporali con una certa velocità come causalità, molto simile all'equazione di avanzamento lineare BVP, dobbiamo solo imporre la condizione al contorno di afflusso, cioè, com'è la quantità quando fluisce nel dominio di interesse e la soluzione ci direbbe come è la quantità quando fluisce, un'idea molto simile a ogni metodo che usa il time-stepping. Risolvere un'equazione di avanzamento 2D nello spazio è come risolvere un problema di propagazione unilaterale 1D nello spazio-tempo. Per schemi numerici, è possibile cercare su Google FEM spaziotempo.

— Shuhao Cao
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Devo dire che la maggior parte di quello che dici è sopra la mia testa. Ma l'ultimo paragrafo è stato molto interessante e offre sicuramente spunti. Hai un collegamento a (spazio e spaziotempo) vs (ellittico e iperbolico)?

— Patrick,

@Patrick Grazie per l'interesse, ho modificato di più la mia risposta.

— Shuhao Cao,

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Mentre ci sono alcune eccezioni (ad esempio metodi di elementi finiti completamente discreti), la discretizzazione temporale implica generalmente una dipendenza intrinsecamente sequenziale nel flusso di informazioni. Questa dipendenza limita gli algoritmi semi-discreti (BVP nello spazio, IVP nel tempo) per calcolare le soluzioni ai sottoproblemi in modo sequenziale. Questa discretizzazione è generalmente preferita per la sua semplicità e perché offre all'analista molti algoritmi ben sviluppati per una maggiore precisione sia nello spazio che nel tempo.

È possibile (e più semplice) utilizzare anche differenze finite nelle dimensioni spaziali, ma i metodi agli elementi finiti offrono una maggiore flessibilità nel tipo di dominio in base agli interessi (ad esempio forme non regolari) rispetto ai metodi con differenze finite. Una "buona" scelta di discretizzazione spaziale è spesso molto dipendente dal problema.

— Paolo
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