Bacino di attrazione per il metodo di Newton

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È noto che il metodo di Newton per risolvere equazioni non lineari converge quadraticamente quando l'ipotesi iniziale è "sufficientemente vicina" alla soluzione.

Che cosa è "sufficientemente vicino"?

C'è letteratura sulla struttura di questo bacino di attrazione?

iterative-method convergence nonlinear-equations

— David Ketcheson
fonte

La radice deve essere isolata (non multipla). Se l'Assia è uniformemente definita (concava su o giù) nella regione, dovresti andare bene. Naturalmente, garantire o testare empiricamente queste condizioni è di solito poco pratico.

— Hardmath,

L'altro giorno ho visto la domanda su NA-Digest e l'ho trovata intrigante. Apparentemente non ero il solo :-)

— Wolfgang Bangerth il

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Per una singola equazione razionale nel dominio complesso, il bacino di attrazione è frattale, il compelemento di un cosiddetto set di Julia. http://it.wikipedia.org/wiki/Julia_set . Per la teoria con alcune belle figure online, vedi, ad esempio,
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

Anche il metodo Newton smorzato "globalizzato" per ha un bacino frattale di attrazione; vedi http://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002 . $x^3-1=0$

Quindi non ha senso specificare nel dettaglio cosa è "sufficientemente vicino" alla soluzione. Se si conoscono i limiti sui secondi derivati, c'è il teorema di Newton - Kantorovich che fornisce limiti inferiori sul raggio di una palla in cui converge il metodo di Newton, ma tranne che in 1D, questi tendono ad essere abbastanza pessimistici.

I limiti utili dal punto di vista computazionale possono essere ottenuti usando l'aritmetica degli intervalli; vedi, per esempio, il mio articolo
Shen Zuhe e A. Neumaier, L'operatore di Krawczyk e il teorema di Kantorovich, J. Math. Anale. Appl. 149 (1990), 437-443.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— Arnold Neumaier
fonte

È solo nel piano complesso che ha un bacino frattale di attrazione. Sulla linea reale, qualsiasi ipotesi iniziale farà (una volta che la convergenza diminuirà del monontone e apparirà rapidamente una frequenza quadratica).

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

— Hardmath,

1

@hardmath: sì, ma l'equazione complessa diventa due equazioni reali in 2 variabili, per le quali vale la stessa.

— Arnold Neumaier,

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"Sufficientemente vicino" è difficile da caratterizzare se si considera che genera una classe di frattali . I metodi di Newton con strategie di globalizzazione come la ricerca di linee e la regione di fiducia estendono il bacino di attrazione. Se è disponibile una struttura aggiuntiva dei problemi, come nell'ottimizzazione, le ipotesi necessarie per la convergenza possono essere ulteriormente indebolite.

— Jed Brown
fonte

Solo per curiosità, hai qualche esempio di "Se è disponibile una struttura aggiuntiva di problemi, come nell'ottimizzazione, le ipotesi necessarie per la convergenza possono essere ulteriormente indebolite"?

— vanCompute il

@vanCompute Vedi questo esempio per un esempio relativo all'ottimizzazione, in cui l'oggetto funzionale fornisce informazioni perse nelle condizioni di ottimalità del primo ordine. Un'altra forma sarebbe la conoscenza che una certa continuazione (pseudotrasparente, parametro, griglia, ecc.) Convergeva sempre, ma il residuo potrebbe dover aumentare prima di raggiungere la soluzione se si tenta di risolvere direttamente il problema.

— Jed Brown,

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Ci sono alcuni risultati utili per il metodo di Newton applicato a polinomi complessi.

$f$

r = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

Altri limiti espliciti sono dati da Anthony Manning in Come essere sicuri di trovare una radice di un polinomio complesso usando il metodo di Newton (Teorema 1.2).

Vedi anche Come trovare tutte le radici di polinomi complessi con il metodo di Newton di Hubbard et al.
Inventare. Matematica. 146 (2001), n. 1, 1–33. PDF

— LHF
fonte

Adattato da math.stackexchange.com/a/1038487/589 .

— lhf