Ogni matrice reale può essere riduce a forma reale di Schur T = U T A U utilizzando un ortogonale similiary trasformazione U . Qui la matrice T è una forma quasi triangolare con 1 per 1 o 2 per 2 blocchi sulla diagonale principale. Ogni 1 di 1 corrisponde ad un blocco autovalore reale di A ed ogni blocco 2 x 2 corrisponde ad una coppia di complessi autovalori coniugati di A .
Il problema riordino autovalore consiste nel trovare una somiglianza ortogonale trasformazione tale che la selezione da parte dell'utente di autovalori di A appare lungo la diagonale del angolo superiore sinistro S = V T T V .
In LAPACK la routine pertinente di doppia precisione si chiama DTRSEN. Daniel Kressner ha scritto una versione bloccata con il nome BDTRSEN. La routine ScaLAPACK è PDTRSEN.
Sto cercando applicazioni e algoritmi in cui i progressi nella risoluzione del problema di riordino degli autovalori avrebbero reali vantaggi.
Possiamo facilmente generare matrici di test in forma quasi triangolare, ma abbiamo difficoltà a decidere la forma di una distribuzione realistica della selezione di autovalori dell'utente.
Dal mio punto di vista, l'iterazione del sottospazio con l'accelerazione di Ritz è un algoritmo ideale per testare i miglioramenti dell'algoritmo di riordino. Richiede una moltiplicazione (sparsa) di matrici vettoriali, un algoritmo QR alto e un algoritmo di riordino.
Tuttavia, è difficile per me trovare problemi di vita reale in cui è chiaro che un determinato insieme di autovetture è fisicamente interessante.
Possiamo eseguire il riordino degli autovalori per matrici dense di dimensione 40.000 utilizzando una macchina a memoria condivisa. Le migliori prestazioni si ottengono quando l'utente seleziona circa il 50% di tutti gli autovalori.