Condizioni al contorno per l'equazione di avanzamento discretizzata con un metodo della differenza finita

Sto cercando di trovare alcune risorse per aiutare a spiegare come scegliere le condizioni al contorno quando si usano metodi a differenza finita per risolvere i PDE.

I libri e le note a cui attualmente ho accesso dicono cose simili:

Le regole generali che governano la stabilità in presenza di confini sono troppo complicate per un testo introduttivo; richiedono sofisticati macchinari matematici

(A. Iserles Un primo corso nell'analisi numerica delle equazioni differenziali)

Ad esempio, quando si tenta di implementare il metodo leapfrog in due passaggi per l'equazione di avanzamento:

$u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

usando MATLAB

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);
    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

La soluzione si comporta bene fino a quando non raggiunge il limite, quando improvvisamente inizia a comportarsi male.

Dove posso imparare a gestire condizioni al contorno come questa?

La risposta di Sloede è molto accurata e corretta. Volevo solo aggiungere alcuni punti per facilitare la comprensione.

Fondamentalmente, qualsiasi equazione d'onda ha una velocità e una direzione intrinseche dell'onda. Per un'equazione d'onda monodimensionale: la velocità dell'onda è la costante a che determina non solo la velocità con cui l'informazione si sta propagando nel dominio ma anche la sua direzione. Se un > 0 , le informazioni sta andando da sinistra a destra e se un < 0 è il contrario.

$$u_t + a u_x = 0$$ $a$$a>0$$a<0$

Per il metodo del salto con la rana, quando discretizzi le equazioni ottieni: oppure: u n i =u n - 2 i +μ(u n - 1 i + 1 -u n - 1 i - 1 )doveμ=-aΔt/Δx. Nel tuo caso,μ>

$$\frac{u_i^{n} - u_i^{n-2}}{2 \Delta t} + a \frac{u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1}}{2 \Delta x} = 0$$ $$u_i^{n} = u_i^{n-2} + \mu (u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1})$$ $\mu = -a \Delta t/\Delta x$$\mu > 0$che si traduce in un'onda che va a sinistra. Ora, se ci pensate, un'onda che sta viaggiando verso sinistra, avrà solo bisogno di una condizione al contorno al limite destro poiché tutti i valori a sinistra vengono aggiornati tramite i loro vicini di destra. In effetti, specificare qualsiasi valore al limite sinistro non è coerente con la natura del problema. In alcuni metodi, come il semplice controvento, questo viene gestito automaticamente poiché lo schema coinvolge anche solo i vicini corretti nel suo stencil. In altri metodi, come il salto della rana, devi specificare un valore "corretto".

Questo di solito viene fatto tramite estrapolazione dal dominio interno per trovare il valore mancante. Per problemi multidimensionali e non canonici, ciò implica la ricerca di tutti gli autovettori del flusso giacobino per determinare quali parti del confine necessitano effettivamente delle condizioni al contorno e quali parti richiedono l'estrapolazione.

Risposta generale
Il problema è che non si impostano (o addirittura si specificano) le condizioni al contorno - il problema numerico è mal definito.

In generale, ci sono due modi possibili per specificare le condizioni al contorno:

1. $u_{0}$$u_{101}$
2. Cambia lo stencil numerico in modo che utilizzi solo le informazioni interne al confine.

Il modo in cui vai pesantemente dipende dalla fisica del tuo problema. Per i problemi di tipo di equazione d'onda, di solito si determinano gli autovalori del flusso giacobino per decidere se sono necessarie condizioni al contorno esterne o se deve essere utilizzata la soluzione interna (questo metodo è comunemente chiamato "controvento").

---

$u_{i-1}^n$$u_{i+1}^n$$i$$n+1$$i = 1$$u_{0}^n$$u_{100}^{n+1}$$u_{101}^n$

$u_{1}^n$$u_{100}^n$

Di seguito puoi trovare una versione modificata del tuo codice sorgente:

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    %u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);

    % Apply the numerical stencil to all interior points
    for j = 2:M-1
        u(j,i) = u(j,i-2) + mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
    end

    % Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
    u(1,i) = 2*u(2,i) - u(3,i);
    u(M,i) = 2*u(M-1,i) - u(M-2,i);

    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

Quindi ho esaminato questo aspetto in modo più dettagliato e sembra che questo (almeno nei casi di base che sto gestendo) dipenda dalla velocità di gruppo del metodo.

Il metodo leapfrog (ad esempio) è:

$u_{i}^{n+1} = u_{i}^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

$u_k^n = e^{i( \zeta k \Delta x + \omega(\zeta) n \Delta t)}$

$e^{2 i \omega \Delta t} = 1 + \mu e^{i\omega \Delta t} ( e^{i \zeta \Delta x} - e^{-i \zeta \Delta x} )$

$\sin(\omega \Delta t) = \mu \sin (\zeta \Delta x)$

$\frac{d\omega}{d\zeta} = \frac{\cos (\zeta \Delta x)}{\sqrt{1-\mu^2 sin^2(\zeta \Delta x)}} \in [-1,1]$

Ora dobbiamo scoprire la velocità del gruppo delle condizioni al contorno:

Il mio metodo :$u_1^{n+2} = u_1^n + \mu u_2^{n+1}$

Possiamo calcolare la velocità del gruppo di limiti come segue:

$2 i \sin(\omega \Delta t) = \mu e^{i \zeta \Delta x}$

quindi per trovare alcune velocità di gruppo consentite dai confini dobbiamo trovare:

$\omega = c \zeta$

$\cos(\zeta \Delta x) = 0, \mu \sin(\zeta \Delta x) = 2 \sin (\zeta c \Delta t)$

$\zeta = \frac{\pi}{2 \Delta x}$ darebbe $\mu = 2 \sin (\frac{c \mu \pi}{2})$ per cui una soluzione per $c \in [-1,1]$esisterà. (Per la maggior parte delle scelte di$\mu$ almeno)

---

La soluzione che ho trovato in letteratura è quella di prendere $u_0^{n+1} = u_1^{n}$ poiché questo ha un numero d'onda al contorno che si trova all'esterno $[-1,1]$.

Ho ancora un bel po 'di più da leggere su questo prima di capirlo completamente. Penso che le parole chiave che sto cercando siano la teoria GKS.

Fonte per tutte queste note di A Iserles Parte III

---

Un calcolo più chiaro di ciò che ho fatto è disponibile qui: http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/publication/PDF/1983_7.pdf

Ragazzi, sono molto nuovo su questo sito. Forse questo non è il posto dove chiedere, ma per favore perdonami perché sono molto nuovo qui :) Sto avendo un problema estremamente simile, l'unica differenza è la funzione di avvio che, nel mio caso, è un'onda di coseno. Il mio codice è questo: cancella tutto; CLC; chiudi tutto;

M = 1000; N = 2100;

mu = 0,5;

c = [mu 0 -mu]; f = @ (x) 1- cos (20 * pi * x-0,025). ^ 2; u = zeri (M, N); x = 0: (1 / M): 0,05; u (1: lunghezza (x), 1) = f (x); u (1: lunghezza (x), 2) = f (x - mu / (M)); x = linspace (0,1 M);

per i = 3: N hold off;

% Apply the numerical stencil to all interior points
for j = 2:M-1
    u(j,i) = u(j,i-2) - mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
end

% Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
u(M,i) =  2*u(M-1,i-1) - u(M-2,i-1);

trama (x, u (:, i)); asse ([0 1.5 -0.5 2]) drawnow; % pausa fine

C'è già questo codice qui, ma per qualche ragione, probabilmente correlato all'onda del coseno, il mio codice fallisce: / qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato :) grazie!