Una domanda abbastanza semplice: fare un integrale multidimensionale, dato che si è deciso che una sorta di metodo Monte Carlo è appropriato, c'è qualche vantaggio che una normale integrazione MC usando numeri pseudocasuali ha su un'integrazione quasi-Monte Carlo usando una sequenza quasirandom ? In tal caso, come riconoscerei le situazioni in cui questo vantaggio entrerebbe in gioco? (E se no, perché qualcuno usa mai la vecchia integrazione Monte Carlo?)
Risposte:
Le simulazioni Monte Carlo sono il metodo di scelta per il calcolo dello scattering di elettroni. Trucchi come il campionamento di importanza vengono usati a volte, quindi potresti dire che non è semplicemente il vecchio Monte Carlo. Ma il punto principale è probabilmente che qui viene simulato un processo intrinsecamente stocastico, mentre si sta chiedendo solo di utilizzare Monte Carlo per l'integrazione.
Poiché nessun altro ha cercato di offrire una risposta, lasciami provare ad espandere un po 'la mia risposta. Supponiamo di avere una simulazione di scattering di elettroni, in cui viene calcolato un solo numero, come un coefficiente di backscattering. Se lo riformulassimo come integrale multidimensionale, sarebbe probabilmente un integrale dimensionale infinito. D'altra parte, durante la simulazione di una singola traiettoria, è richiesto solo un numero finito di numeri casuali (questo numero può diventare piuttosto grande, se si tiene conto della generazione di elettroni secondari). Se utilizzassimo una sequenza quasirandom come il campionamento di ipercubi latini, dovremmo usare un'approssimazione con un numero fisso di dimensioni e generare un numero casuale per ogni dimensione per ciascun punto di campionamento.
Quindi penso che la differenza sia se viene campionato un qualche tipo di ipercubo ad alta dimensione, rispetto a una nuvola di probabilità di dimensione infinita attorno all'origine.
Alcune delle mie ricerche riguardano la risoluzione di equazioni differenziali parziali stocastiche su larga scala. Nel qual caso, l'approssimazione tradizionale del monte carlo dell'integrale di interesse converge troppo lentamente perché valga la pena in senso pratico ... cioè non voglio eseguire simulazioni 100 volte più solo per ottenere un punto decimale più precisione all'integrale. Invece, tendo ad usare altri metodi come le griglie smolyak sparse perché offrono una maggiore precisione in un minor numero di valutazioni delle funzioni. Questo è possibile solo perché posso assumere un certo grado di scorrevolezza nella funzione.
È ragionevole ipotizzare che se ti aspetti che la funzione che stai integrando abbia una certa struttura (come la scorrevolezza), sarebbe meglio usare lo schema di quasi-monte carlo che la sfrutta. Se davvero non puoi fare molte ipotesi sulla funzione, allora Monte Carlo è l'unico strumento che mi viene in mente di gestirla.
I vantaggi di integrazione tradizionali Monte-Carlo over integrazione quasi-Monte Carlo sono discussi in Kocis e carta di Whiten qui . Elencano i seguenti motivi:
Sfortunatamente, il limite di discrepanza teorica delle sequenze esistenti non è utilizzabile per valori moderati e grandi di s. L'altra opzione, una valutazione numerica della discrepanza a stella di una sequenza per grandi s, richiede uno sforzo computazionale eccessivo e persino stime numeriche ragionevoli di tali discrepanze sono molto difficili da ottenere.
Con la tradizionale integrazione Monte-Carlo, possiamo specificare un obiettivo di errore e attendere perché il limite di errore è facilmente calcolabile. Con QMC, dobbiamo specificare una serie di valutazioni delle funzioni e speriamo che l'errore rientri nel nostro obiettivo. (Si noti che esistono tecniche per ovviare a questo, come il quasi-Monte Carlo randomizzato, in cui vengono utilizzate più stime di quasi-Monte-Carlo per stimare l'errore.)
Perché quasi-Monte Carlo superi il tradizionale Monte-Carlo, l'integrando deve avere una "dimensione bassa effettiva". Vedi l'articolo di Art Owen su questo argomento qui .