Valutazione numerica di integrale altamente oscillatorio

In questo corso avanzato sulle applicazioni della teoria delle funzioni complesse ad un certo punto di un esercizio l'integrale altamente oscillatorio

$$I(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x$$

deve essere approssimato per grandi valori di usando il metodo del punto a sella nel piano complesso.$\lambda$

A causa della sua natura altamente oscillatoria, questo integrale è molto difficile da valutare usando la maggior parte degli altri metodi. Questi sono due frammenti del grafico dell'integrando per a diverse scale:$\lambda = 10$

Un'approssimazione asintotica di ordine principale è

$$I_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}}$$

e un ulteriore raffinamento (molto più piccolo) aggiunge il termine

$$I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}}$$

Un grafico dei valori approssimati in funzione di il seguente aspetto:$\lambda$

Ora arriva la mia domanda: per vedere visivamente quanto è buona l'approssimazione, mi piacerebbe confrontarla con il "valore reale" dell'integrale, o più precisamente con una buona approssimazione allo stesso integrale usando un algoritmo indipendente. A causa della piccolezza della correzione subleading, mi aspetto che questo sia molto vicino.

Ho provato a valutare l'integrale per alcuni usando altri algoritmi, ma con scarso successo: Mathematica e Matlab usando l'integratore numerico predefinito non riescono a produrre un valore significativo (e lo riportano esplicitamente), mpmath usando entrambi il doppiamente esponenziale sostituzione e il metodo Gauss-Legendre producono risultati molto rumorosi, anche se ha una leggera tendenza a oscillare attorno ai valori forniti dal metodo del punto a sella, poiché questo grafico potrebbe mostrare:$\lambda$$\tanh(\sinh)$

Alla fine ho tentato la fortuna con un integratore Monte-Carlo usando un esempio di importanza che ho implementato, ma non sono riuscito a ottenere risultati stabili.

Qualcuno ha un'idea di come questo integrale possa essere valutato indipendentemente per qualsiasi valore fisso di o giù di lì?$\lambda > 1$

Usa il teorema di Plancherel per valutare questo integrale.

L'idea di base è quella per due funzioni $f,g$ ,

$$I=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g^*(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} F(k) G^*(k) dk$$

dove $F,G$ sono le trasformate di Fourier di $f,g$ . Entrambe le funzioni hanno un supporto relativamente piccolo nel dominio spettrale. Qui $\sin x / x \rightarrow \text{rect}(k)$ e $\cos(\lambda\cos x)$ dovrebbero avere una trasformata (o serie) analitica di Fourier, come l' espansione Jacobi-Anger . È possibile troncare le serie infinite a circa $\lambda$ termini a causa del decadimento super-esponenziale della funzione di Bessel $|J_n(x)|$per $n>|x|$. Spero che questo ti aiuti.

Modifica : in realtà, dovresti usare le rappresentazioni della serie di Fourier qui invece delle trasformazioni. Il percorso di trasformazione porta a derivare la rappresentazione asintotica che hai già (risulta che questo è solo $\pi J_0(\lambda)$ ). Il teorema di Plancherel sopra funziona anche per le serie di Fourier con un dominio di integrazione di $[0,2\pi]$ sull'ultimo integrale.

La chiave per la valutazione degli integrali oscillatori è troncare l'integrale nel punto giusto. Per questo esempio devi scegliere il limite superiore della forma

$$\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$ Prima di spiegare perché dovrebbe funzionare, fammi prima dimostrare che in realtà produce buoni risultati.

asintotica

È facile indovinare che le serie asintotiche hanno la forma

$$I(\lambda) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}}\left[\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right) + c_1 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda} + c_2 \frac{\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^2} + c_3 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^3} + \dots \right]$$ $c_1 = \frac{1}{8}$

int := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, 20.5*Pi}]; 
Plot[{l*(Sqrt[2*l/Pi]*int - Cos[l-Pi/4]), Sin[l-Pi/4]/8}, {l, Pi/4, 20}]

Come risultato ottieni un bel seno che coincide con quello che hai derivato sopra.

Se vuoi trovare i seguenti coefficienti, un po 'più sofisticato pezzo di codice, se necessario. L'idea del codice seguente è quella di prendere diversi valori limite superiori e "mediare" i loro risultati.

J[l_?NumericQ] := Block[{n=500},
  f[k_] := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x,0,(n+k)*Pi+Pi/2},
  Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->14, MaxRecursion->100];
  1/2*((f[0]+f[1])/2+(f[1]+f[2])/2)
]
t = Table[{l, l^2*(Sqrt[2*l/Pi]*J[l] - Cos[l-Pi/4] - 1/8*Sin[l-Pi/4]/l)}, 
    {l, 4*Pi+Pi/4, 12*Pi+Pi/4, Pi/36}];
Fit[t, Table[Cos[l-Pi/4+Pi/2*n]/l^n, {n, 0, 10}], l]

$$\boxed{ \boxed{ c_2 = -\frac{9}{128}, \qquad c_3 = -\frac{75}{1024}, \qquad c_4 = \frac{3675}{32768}, \quad\dots }}$$

Spiegazione

Semplice esempio

$$S(x) = \int_{0}^x \frac{\sin(y)}{y} dy.$$ $S(\infty)=\frac{\pi}{2}$

$S(x)$

$$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{n}.$$ $$S \approx S_N + \frac{1}{2}\frac{(-1)^{N+1}}{N+1}.$$ $$S(x) \approx \int_0^{\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x}dx$$ $\max |S'(x)|$si verifica.

Il tuo problema

$$I_{x_0}(\lambda) = 2\int_{0}^{x_0}\cos\left(\lambda\cos(x)\right)\operatorname{sinc}(x)dx$$ $x_0 = \pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$\lambda = 12\pi$

tab = Table[{x0, 2*NIntegrate[Cos[12*Pi*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, x0}, 
     Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->12, MaxRecursion->100]},
    {x0, 10*Pi+Pi/2, 30*Pi+Pi/2, Pi}];
tab1 = Table[(tab[[i]] + tab[[i+1]])/2, {i,1,Length[tab]-1}];
ListPlot[{tab, tab1}]

$$S_N' = \frac{1}{2}(S_N+S_{N+1})$$ $S_N'$

Il metodo di Ooura per integrali sinusoidali di Fourier funziona qui, vedi:

Ooura, Takuya e Masatake Mori, una solida formula esponenziale doppia per integrali di tipo Fourier. Rivista di matematica computazionale e applicata 112.1-2 (1999): 229-241.

Ho scritto un'implementazione di questo algoritmo ma non ho mai lavorato per ottenerlo velocemente (ad esempio, memorizzando nodi / pesi nella cache), ma sto comunque ottenendo risultati coerenti in tutto ciò che va oltre la precisione del float:

float     = 0.0154244
double    = 0.943661538060268
long dbl  = 0.943661538066058702
quad      = 0.943661538066060288748574485677942
oct       = 0.943661538066060288748574485680878906503533004997613278231689169604876
asymptotic= 0.944029734

Ecco il codice:

#include <iostream>
#include <boost/math/quadrature/ooura_fourier_integrals.hpp>
#include <boost/math/constants/constants.hpp>
#include <boost/multiprecision/float128.hpp>
#include <boost/multiprecision/cpp_bin_float.hpp>

template<class Real>
Real asymptotic(Real lambda) {
    using std::sin;
    using std::cos;
    using boost::math::constants::pi;
    Real I1 = cos(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/lambda);
    Real I2 = sin(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/(lambda*lambda*lambda))/8;
    return I1 + I2;
}

template<class Real>
Real osc(Real lambda) {
    using std::cos;
    using boost::math::quadrature::ooura_fourier_sin;
    auto f = [&lambda](Real x)->Real { return cos(lambda*cos(x))/x; };
    Real omega = 1;
    Real Is = ooura_fourier_sin<decltype(f), Real>(f, omega);
    return 2*Is;
}

template<class Real>
void print(Real val) {
   std::cout << std::defaultfloat;
   std::cout << std::setprecision(std::numeric_limits<Real>::digits10);
   std::cout <<  val <<  " = " << std::hexfloat << val;
}

int main() {
    using boost::multiprecision::float128;
    float128  s = 7;
    std::cout << "Asymptotic = " << std::setprecision(std::numeric_limits<float128>::digits10) << asymptotic(s) << "\n";
    std::cout << "float precision = ";
    print(osc(7.0f));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "double precision= ";
    print(osc(7.0));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "long double     = ";
    print(osc(7.0L));
    std::cout << "\n";
    print(osc(s));

    print(osc(boost::multiprecision::cpp_bin_float_oct(7)));
    std::cout << "\n";
}

$\lambda\to 0$