Perché la soluzione numerica di un ODE si allontana da un equilibrio instabile?

Vorrei simulare il comportamento di un sistema a doppio pendolo. Il sistema è un manipolatore robotico a 2 gradi di libertà che non viene attivato e, pertanto, si comporterà principalmente come un doppio pendolo influenzato dalla gravità. L'unica differenza principale con un doppio pendolo è che è composto da due corpi rigidi con proprietà di massa e inerzia nei loro centri di massa.

Fondamentalmente, ho programmato ode45sotto Matlab per risolvere un sistema di ODE del seguente tipo:

$$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & M_{11} & 0 & M_{12}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & M_{12} & 0 & M_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3\\ \dot{x}_4 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} x_2\\ -V_1-G_1\\ x_4\\ -V_2-G_2 \end{array} \right]$$

dove è l'angolo del primo corpo rispetto all'orizzontale, è la velocità angolare del primo corpo; è l'angolo del secondo corpo rispetto al primo corpo e è la velocità angolare del secondo corpo. Tutti i coefficienti sono specificati nel seguente codice, nelle funzioni e che ho creato.$x_1$$x_2$$x_3$$x_4$rhsfMass

clear all
opts= odeset('Mass',@fMass,'MStateDependence','strong','MassSingular','no','OutputFcn',@odeplot);
sol = ode45(@(t,x) rhs(t,x),[0 5],[pi/2 0 0 0],opts);

function F=rhs(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    a=[0.25 0.25];
    g=9.81;
    c1=cos(x(1));
    s2=sin(x(3));
    c12=cos(x(1)+x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    V1=-n1*s2*x(4)^2-2*n1*s2*x(2)*x(4);
    V2=n1*s2*x(2)^2;
    G1=m(1)*a(1)*g*c1+m(2)*g*(l*c1+a(2)*c12);
    G2=m(2)*g*a(2)*c12;

    F(1)=x(2);
    F(2)=-V1-G1;
    F(3)=x(4);
    F(4)=-V2-G2;
    F=F';     
end

function M=fMass(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    Izz=[0.11 0.11];
    a=[0.25 0.25];
    c2=cos(x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    M11=m(1)*a(1)^2+Izz(1)+m(2)*(a(2)^2+l^2)+2*n1*c2+Izz(2);
    M12=m(2)*a(2)^2+n1*c2+Izz(2);
    M22=m(2)*a(2)^2+Izz(2);
    M=[1 0 0 0;0 M11 0 M12;0 0 1 0;0 M12 0 M22];
end

Notare come ho impostato la condizione iniziale di (angolo del primo corpo rispetto all'orizzontale) in modo che il sistema si avvii in una posizione completamente verticale. In questo modo, poiché agisce solo la gravità, il risultato ovvio è che il sistema non dovrebbe muoversi affatto da quella posizione.$x_1$

NOTA: in tutta la grafica seguente, ho tracciato le soluzioni e rispetto al tempo.$x_1$$x_3$

ode45

Quando eseguo la simulazione per 6 secondi ode45, ottengo la soluzione prevista senza problemi, il sistema rimane dove si trova e non si sposta:

Tuttavia, quando eseguo la simulazione per 10 secondi, il sistema inizia a muoversi irragionevolmente:

ode23

Ho quindi eseguito la simulazione ode23per vedere se il problema persisteva. Finisco con lo stesso comportamento, solo che questa volta la divergenza inizia 1 secondo dopo:

ode15s

Ho quindi eseguito la simulazione ode15sper vedere se il problema persisteva e no, il sistema sembra essere stabile anche durante 100 secondi:

Inoltre, ode15sè solo il primo ordine e nota che ci sono solo alcuni passaggi di integrazione. Quindi ho eseguito un'altra simulazione con ode15s10 secondi, ma una MaxStepdimensione di per aumentare la precisione e, sfortunatamente, questo porta allo stesso risultato di entrambi e .$0.01$ode45ode23

Normalmente, il risultato ovvio di queste simulazioni sarebbe che il sistema rimane nella sua posizione iniziale poiché nulla lo disturba. Perché si verifica questa divergenza? Ha qualcosa a che fare con il fatto che questo tipo di sistemi sono di natura caotica? È un comportamento normale per le odefunzioni in Matlab?

Penso che i due punti principali siano già stati fatti da Brian ed Ertxiem: il tuo valore iniziale è un equilibrio instabile e il fatto che i tuoi calcoli numerici non siano mai realmente esatti fornisce la piccola perturbazione che farà scattare l'instabilità.

Per dare un po 'più di dettaglio come va, considera il tuo problema sotto forma di un problema di valore iniziale generale

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) \end{equation}$$ $\mathbf{y}(t) = (x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t))$

$$\begin{equation} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) = \begin{bmatrix} x_2 \\ -V_1 - G_1 \\ x_4 \\ -V_2 - G_2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

$\mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) = 0$$\dot{\mathbf{y}}(0) = 0$$\tilde{\mathbf{f}}$

Nel tuo codice, puoi verificarlo elaborando

norm(rhs(0,[pi/2 0 0 0]))

che dà 6.191e-16 - quindi quasi ma non esattamente zero. Che impatto ha sulla dinamica del tuo sistema?

$\mathbf{f}$$\mathbf{y}_0$$\tilde{\mathbf{y}}_0$

Inoltre, in un tempo molto breve, la soluzione per il tuo sistema sembra la soluzione del sistema linearizzato

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) + \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) \end{equation}$$

$\mathbf{f}'$$\mathbf{f}$rhs$\mathbf{y}_0$$\mathbf{d}(t) := \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0$$\mathbf{d}$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \mathbf{d}(t). \end{equation}$$

Non potevo preoccuparmi di calcolare a mano il giacobino, quindi ho usato la differenziazione automatica per ottenere una buona approssimazione:

$$\begin{equation} \mathbf{J} := \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9.81 & 0 & 2.4525 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2.4525 & 0 & 2.4525 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$$

in modo che la tua equazione diventi

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{J} \mathbf{d}(t), \mathbf{d}(0) = \mathbf{\tilde{y}}_0 - \mathbf{y}_0 \end{equation}$$

Ora abbiamo bisogno di un ultimo passo: possiamo calcolare una decomposizione autovalore del giacobino tale che

$$\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{Q} \mathbf{D} \mathbf{Q}^{-1} \end{equation}$$

$\mathbf{D}$$\mathbf{J}$$\mathbf{Q}$$\mathbf{d}$$\mathbf{e}(t) := \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(t)$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{e}}(t) = \mathbf{D} \mathbf{e}(t), \mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0. \end{equation}$$

$\mathbf{D}$

$$\begin{equation} \dot{e}_i(t) = \lambda_i e_i(t), e_i(0) = i-\textrm{th component of}~\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0 \end{equation}$$

$i=1,2,3,4$$\lambda_1 = 3.2485$

$$\begin{equation} e_1(t) = e_1(0) e^{3.2485 t}. \end{equation}$$

$\mathbf{d}(0) = 0$$\mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(0) = 0$$e_1(0) = 0$$e_1(0)$

$\pi/2$$\pi/2$

Guarda i componenti delle forze calcolate nelle tue funzioni.

$\pi$

$10^{-16}$

$a = 1.0$$a = a + 10^{-16}$

L'ipotesi iniziale era che la posizione iniziale fosse a un equilibrio stabile (cioè un minimo dell'energia potenziale) con energia cinetica pari a zero e il sistema ha iniziato ad allontanarsi dall'equilibrio.
Dal momento che fisicamente non può succedere (se consideriamo la meccanica classica), mi sono venute in mente due cose:

1. $\pi/2$$-\pi/2$

2. Il secondo è che forse c'è qualcosa che non va nelle equazioni del movimento (forse un errore di battitura da qualche parte?). Potete per favore scrivere esplicitamente le equazioni? Forse potresti tracciare l'accelerazione angolare in funzione della posizione iniziale di ciascun pendolo, assumendo una velocità angolare zero per verificare se c'è qualcosa di strano.

Dovresti cercare di più sui doppi pendoli: sono quelli che chiamiamo "sistemi caotici". Anche se si comportano seguendo semplici regole, a partire da condizioni iniziali leggermente diverse, le soluzioni divergono abbastanza rapidamente. Fare simulazioni numeriche per questo tipo di sistemi non è facile. Guarda il video seguente per avere maggiori informazioni sul problema.

Per il pendolo semplice o doppio potresti scrivere una formula per l'energia totale del sistema. Supponendo che le forze di attrito siano trascurate, questa energia totale è preservata dal sistema analitico. Numericamente questo è un altro problema.

Prima di provare il doppio pendolo, prova il semplice pendolo. Noterai che per i metodi Runge-Kutta di piccolo ordine l'energia del sistema crescerà nelle simulazioni numeriche, invece di rimanere costante (questo è ciò che accade nelle tue simulazioni: ottieni movimento dal nulla). Per evitare ciò, è possibile utilizzare metodi RK di ordine superiore (ode45 è dell'ordine 4; RK dell'ordine 8 funzionerebbe meglio). Esistono altri metodi chiamati "metodi simplettici" progettati in modo tale che le simulazioni numeriche conservino l'energia. In generale, è necessario interrompere la simulazione non appena l'energia aumenta in modo significativo rispetto all'inizializzazione.

E cerca di capire il semplice pendolo prima di passare al doppio.