In che modo le modifiche di basso rango influenzano la convergenza del metodo Krylov?

Supponiamo che io abbia un sistema lineare , che converge rapidamente usando un metodo Krylov adatto (come CG o GMRES) per tutti . Se è una matrice con basso , lo stesso metodo Krylov sul sistema converge anche rapidamente (idealmente con un numero extra di iterazioni che dipendono approssimativamente solo da )?$A x = b$$b$$B$$r$$(A + B) x = b$$r$

Un esempio di tale sistema sarebbe l'elasticità e la flessione della membrana ben precondizionate, più i termini di pressione dell'aria non precondizionati con una densa struttura esterna del prodotto.

Si noti che la questione è lo stesso con o senza condizionamento, poiché è un rango modifica di .$P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

Se il tuo sottospazio di Krylov si basa sui poteri di , la convergenza sarà ritardata di un numero di iterazioni al massimo al rango della correzione. Se si basa su potenze di A T A, al massimo due volte questo numero.$A$$A^TA$

Non ho visto una simile affermazione in letteratura. Ma per vedere la validità nel primo caso, è sufficiente mostrare che lo spazio Klovlov della matrice A + U S V T dove U , V hanno r colonne è contenuto nello spazio corrispondente senza correzioni di basso rango ma con un indice K + r corrispondentemente più alto . Questo è semplice da verificare.$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$