Alternative all'analisi di stabilità di von neumann per metodi a differenza finita

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Sto lavorando per risolvere le equazioni di poroelasticità monodimensionali accoppiate (modello di biot), dato come:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ sul dominio e con le condizioni al contorno:

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ at e at . $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

Ho discretizzato queste equazioni usando uno schema di differenza finita centrato:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Attualmente sto elaborando i dettagli della convergenza del sistema analizzandone la coerenza e la stabilità. La parte relativa alla coerenza mi sembra abbastanza semplice, ma sto già prevedendo alcune difficoltà con l'analisi della stabilità. Prima di tutto, ci sono due variabili e due equazioni. In secondo luogo, esiste anche un termine derivato spazio-temporale misto nella seconda equazione. Ho familiarità con l'analisi di stabilità di von Neumann e posso vedere che sarà molto difficile stabilire la stabilità con questo metodo. Esistono alternative all'analisi di von Neumann che posso usare?

— Paolo
fonte

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Se non senti di fare l'analisi con un sistema di equazioni, basta differenziare la prima equazione rispetto a e la seconda rispetto a . Quindi utilizzare l'uguaglianza di derivati parziali misti per eliminare .

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— David Ketcheson,

@DavidKetcheson: interessante. In sostanza, si sta suggerendo che ho potuto ridurre il sistema a una singola variabile e condurre l'analisi Neumann von standard su

, senza alcuna perdita di generalità per

?

p

$p$

u

$u$

— Paolo

È lo stesso problema, sia che tu lo scriva come un sistema o un PDE scalare.

— David Ketcheson,

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Se sostituisci, almeno per la tua analisi, di, puoi scrivere il tuo sistema come $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$ dove tutte le costanti sono impostate su e dove il pedice

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

riferisce alla discretizzazione dello spazio sia delle variabili che degli operatori differenziali. Lo schema viene quindi ottenuto approssimando

_{h}

${}_h$

tramite Eulero implicito.

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Ora è evidente la struttura algebrica differenziale (DAE). Per le variabili ci sono equazioni sia differenziali (nel tempo) che algebriche.

Se puoi mostrare che è invertibile, cfr. questa prestampa [p. 3] e la modifica in basso, che il DAE è di indice 1 o Euler implicito e privo di stranezze è noto per essere convergente, vedere Teorema 5.12 in questo libro . (Disclaimer: questo libro non è liberamente disponibile e scritto dal mio supervisore di dottorato) $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Con questo approccio, potresti aggirare l'analisi della stabilità.

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

APPENDICE: Si dice che un DAE è indice 1, se può essere trasformato in un ODE senza differenziare le equazioni.

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— Jan
fonte

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

@ Paolo non ho trovato un teorema di riferimento, quindi mi inserirò gli argomenti nella mia risposta ...

— gen

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Non ho familiarità con le equazioni fornite qui, ma ricordo di aver appreso un altro metodo per verificare la stabilità di uno schema numerico nei miei corsi. È noto come analisi dell'equazione modificata.

Ecco un buon riferimento per questo,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

Nel riferimento sopra, viene stabilita la connessione tra la teoria della stabilità basata sull'analisi dell'equazione modificata e l'analisi della stabilità di Von Neumann.

Dopo un po 'di ricerca online, mi sono imbattuto nei seguenti riferimenti,

Questo articolo discute la modellazione delle differenze finite delle equazioni poroelastiche di Biot a frequenze sismiche. Ha anche una sezione sulla stabilità dello schema numerico.

Questo documento presenta una strategia di soluzione per il disaccoppiamento del sistema accoppiato e il controllo della stabilità dello schema numerico.

— Subodh
fonte

Non ho eseguito l'analisi dell'equazione modificata su equazioni sopra, ma poiché la domanda poneva alternative all'analisi di Von Neumann, ho scritto la risposta sopra. È del tutto possibile che non risponda alla domanda. Ma qualcuno potrebbe trovare utili i riferimenti elencati nel proprio lavoro.

— Subodh,

Grazie per il riferimento! Vedo che il modulo necessario nel tuo documento di analisi delle equazioni modificate non si adatta perfettamente alle equazioni che sto usando, ma è abbastanza interessante apprendere nuove tecniche di analisi!

— Paolo