integrazione numerica con possibile divisione per 'zero'

Sto cercando di integrarmi

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) d t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

che è una semplice trasformazione di

\int_{1}^{\infty} X^{2 n} \exp (- α r_{0} X) d X

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

usando perché è difficile approssimare numericamente integrali impropri. Ciò, tuttavia, porta al problema della valutazione del nuovo integrando vicino allo zero. Sarà molto facile ottenere il numero corretto di nodi di quadratura visto che l'intervallo è solo di lunghezza 1 (quindi il comparabile può essere reso molto piccolo), ma che tipo di considerazioni dovrei prendere quando si integra vicino a zero? $t = \frac1{x}$ $dt$

Ad un certo livello, penso che semplicemente prendere sia una buona idea in cui è un piccolo numero . Tuttavia, quale numero devo scegliere? Dovrebbe essere una macchina epsilon? La divisione per macchina epsilon è un numero ben quantificato? Inoltre, se la divisione della mia macchina epsilon (o vicino ad essa) fornisce un numero incredibilmente grande, prendere diventerà ancora più grande. $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ $\epsilon$ $\exp(\frac{1}{\epsilon})$

Come dovrei spiegarlo? C'è un modo per avere un integrale numerico ben definito di questa funzione? In caso contrario, qual è il modo migliore per integrare la funzione?

quadrature accuracy

— drjrm3
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Hai mai pensato di utilizzare Monte Carlo?

— Faheem Mitha,

Sento che non risolverebbe il problema. L'integrazione di Monte Carlo è spesso riservata agli integrali ad alta dimensione. Incontrerei gli stessi identici problemi con Monte Carlo, avrei semplicemente meno controllo su dove viene valutata la mia funzione.

— drjrm3,

Potresti avere ragione.

— Faheem Mitha,

Penso che sarebbe comunque utile avere una risposta (forse a una domanda separata, più generale) che spieghi come si fa l'integrazione numerica quando la funzione è divergente a un limite, per il caso generale in cui non è possibile fare l'integrale analiticamente. Poi di nuovo, questo potrebbe essere trovato anche nelle Ricette numeriche ...

— David Z,

@Faheem: "Monte Carlo è un metodo estremamente cattivo; dovrebbe essere usato solo quando tutti i metodi alternativi sono peggiori." - Alan Sokal

— JM

Risposte:

\int_{1}^{\infty} X e^{- un' X} = \frac{- 1}{un'} X e^{- un' X} |_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{un'} \int_{1}^{\infty} e^{- un' X} = \frac{e^{- un'}}{un'} + \frac{e^{- un'}}{{un'}^{2}} = \frac{un' + 1}{{un'}^{2}} e^{- un'}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$

\int_{1}^{\infty} X^{K} e^{- un' X} = \frac{- 1}{un'} X^{K} e^{- un' X} |_{1}^{\infty} - \frac{- K}{un'} \int_{1}^{\infty} X^{K - 1} e^{- un' X} = \frac{e^{- un'}}{un'} + \frac{K}{un'} \int_{1}^{\infty} X^{K - 1} e^{- un' X}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$

io (K) = \frac{e^{- un'}}{un'} + \frac{K}{un'} io (K - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$

— Matt Knepley
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assolutamente nessuna idea di come l'ho trascurato. grazie.

— drjrm3,

Sostituzioni intelligenti e integrazione per parti dovrebbero sempre essere una delle prime cose che fai con integrali indisciplinati.

— JM,

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$

— Erik P.

In realtà Mathematica sceglie di rappresentare la risposta come ExpIntegralE [-2 n, ar]. Se esegui FunctionExpand su di esso, allora dà la stessa risposta di Maple.

— Searke,

Dai un'occhiata a QUADPACK . Ha routine per l'integrazione su domini (semi) infiniti.

— GertVdE
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