Quali metodi possono garantire che le quantità fisiche rimangano positive durante una simulazione PDE?

Le quantità fisiche come pressione, densità, energia, temperatura e concentrazione dovrebbero essere sempre positive, ma i metodi numerici a volte calcolano valori negativi durante il processo di soluzione. Questo non va bene perché le equazioni calcolano valori complessi o infiniti (in genere il codice si arresta in modo anomalo). Quali metodi numerici possono essere utilizzati per garantire che queste quantità rimangano positive? Quale di questi metodi è più efficiente?

Il metodo più comune è reimpostare i valori negativi su un numero piccolo e positivo. Naturalmente, questa non è una soluzione matematicamente valida. Un approccio generale migliore che può funzionare ed è semplice, è quello di ridurre le dimensioni della fase temporale.

Valori negativi sorgono spesso nella soluzione di PDE iperbolici, perché la comparsa di shock può portare a oscillazioni, che tenderanno a creare valori negativi se ci sono stati di quasi vuoto vicino allo shock. L'uso di un metodo di riduzione totale della variazione (TVD) o di altri metodi non oscillatori ( ENO, WENO ) può ridurre questa tendenza. Tali metodi si basano sull'uso di limitatori non lineari per calcolare i derivati ​​della soluzione. Tuttavia, potresti comunque ottenere valori negativi per diversi motivi:

• Se si utilizza il metodo delle linee e si applica un integratore temporale di ordine elevato. La maggior parte degli schemi TVD è dimostrabilmente TVD solo in senso semi-discreto o con il metodo di Eulero. Per un'integrazione dei tempi di ordine superiore, è necessario utilizzare una discretizzazione del tempo SSP (forte stabilità preserving) ; questi schemi sono anche noti come "contrattivi" o "preservazione della monotonicità". C'è un recente libro sull'argomento di Sigal Gottlieb, Chi-Wang Shu e me stesso.
• Se non si utilizza la decomposizione caratteristica locale per i sistemi di equazioni, la soluzione non sarà TVD (gli schemi TVD possiedono solo quella proprietà per problemi scalari). Quindi è meglio ricostruire / interpolare in variabili caratteristiche.
• Se si dispone di un sistema non lineare, possono sorgere valori negativi anche se si utilizza la decomposizione caratteristica locale. Ad esempio, qualsiasi solutore di Riemann linearizzato (come un solutore di uova di pesce) per le equazioni di acque poco profonde o le equazioni di Eulero può essere mostrato per generare valori negativi in ​​condizioni sufficientemente difficili. Una soluzione consiste nell'utilizzare un solutore HLL (o una variante di HLL); alcuni di questi sono decisamente positivi.
• Gli schemi TVD sono solo di secondo ordine; schemi non oscillanti di ordine superiore come WENO non soddisfano rigorosamente i principi TVD o massimi. Ma una nuova modifica di quegli schemi di alto ordine fa; è stato sviluppato in numerosi articoli recenti da Xiangxiong Zhang (uno studente di Chi-Wang Shu).

Esistono, naturalmente, molti altri approcci specializzati per particolari equazioni, come nel codice GeoClaw di David George, che utilizza un solutore di Riemann con onde extra non fisiche per imporre la positività.

Supponendo che stiamo risolvendo equazioni iperboliche senza alcun termine sorgente e supponendo di fornire condizioni fisiche iniziali, assicurandoci che lo schema numerico che utilizziamo sia Variazione totale La riduzione è un buon modo per garantire la "fisicità" della soluzione calcolata. Poiché uno schema TVD preserva la monotonia, non verranno creati nuovi minimi o massimi e la soluzione rimarrà delimitata dai valori iniziali che speriamo siano impostati correttamente. Naturalmente il problema è che gli schemi TVD non sono i più ovvi. Tra gli schemi lineari, solo gli schemi del primo ordine sono TVD (Godunov 1954). Quindi dagli anni '50, una varietà di schemi TVD non lineari sono stati sviluppati per combinare alta precisione e monotonia per la soluzione di equazioni iperboliche.

Per le mie applicazioni, risolvendo equazioni di Navier-Stokes con grandi gradienti di pressione / densità, utilizziamo uno schema ibrido MUSCL -centrale per catturare i grandi gradienti / discontinuità e mantenere una buona precisione lontano da essi. Il primo schema MUSCL (MUSCL è l'acronimo di Monotone Upstream-centated Schemes for Conservation Laws) è stato ideato da Van Leer nel 1979.

Se vuoi saperne di più su questo argomento, consulta le opere di Harten, Van Leer, Lax, Sod e Toro.

Le risposte di cui sopra si applicano ai problemi dipendenti dal tempo, ma potresti anche richiedere positività in una semplice equazione ellittica. In questo caso, potresti formularlo come una disuguaglianza variazionale , dando limiti per le variabili.

In PETSc, ci sono due solutori VI. Uno utilizza un metodo a spazio ridotto, in cui le variabili nei vincoli attivi vengono rimosse dal sistema per essere risolte. L'altro utilizza un metodo Newton semi-liscio .

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

Questa condizione applicata alla matrice del sistema monotono inverso significa che vale per il sistema di equazioni lineari sopra 0 ≤ $A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

Comunemente, gli schemi di discretizzazione che portano a una matrice M sono chiamati schemi monotone e questi sono quegli schemi che preservano la non negatività.