Strategie per il metodo di Newton quando il giacobino alla soluzione è singolare

Sto cercando di risolvere il seguente sistema di equazioni per le variabili e (tutte le altre sono costanti):$P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

Vedo che posso trasformare questo sistema di equazioni in una singola equazione di una singola variabile risolvendo le equazioni 1 e 2 rispettivamente per e e sostituendole nell'equazione 3. Nel fare ciò, sono in grado di usare matlab comando per trovare la soluzione. Usando i parametri , e , ho trovato la vera soluzione .$(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$$P=x_1=x_2=0.5$

Tuttavia, quando utilizzo il metodo di Newton applicato al sistema di equazioni 3 variate - 3 originale, le iterazioni non convergono mai alla soluzione, non importa quanto vicino inizi alla vera soluzione . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

All'inizio, sospettavo che fosse un bug nella mia implementazione del metodo di Newton. Dopo aver verificato più volte, non ho trovato alcun bug. Poi ho provato a usare un'ipotesi iniziale , ed ecco: il giacobino è singolare. So che un singolare jacobian può ridurre l'ordine di convergenza, ma non credo che impedisca necessariamente la convergenza alla vera soluzione. $x_0=x^*$

Quindi, la mia domanda è, dato che il jacobiano del sistema alla vera soluzione è singolare:

1. Quali altre condizioni sono necessarie per dimostrare che il metodo di Newton non converge alla radice?

2. Una strategia di globalizzazione (ad esempio la ricerca di linee) garantirebbe la convergenza nonostante il singolare jacobiano?

(1): dipende dal comportamento dei derivati ​​del giacobino (sic!) Nello spazio nullo del giacobino alla soluzione. In pratica, nessuno calcola questi derivati ​​e non mi sono nemmeno preso la briga di ricordare le condizioni precise.

(2) funziona, sebbene la convergenza sia solo lineare.

Per ottenere una convergenza superlineare (almeno nella maggior parte dei casi), si possono usare metodi tensoriali. Vedi, ad esempio,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ index / X5G827367G548327.pdf

Invece di una ricerca per linea, potresti provare a modificare il metodo di Newton con l' algoritmo Levenberg-Marquardt . L'implementazione è abbastanza semplice se stai usando Matlab.