Trasformare

Ho sentito aneddoticamente che quando si sta provando a fare numericamente un integrale del modulo

\int_{0}^{\infty} f (X) J_{0} (X) d X

$\int_0^\infty f(x) J_0(x)\,\mathrm{d}x$

con liscio e ben educato (ad es. non esso stesso altamente oscillatorio, non singolare, ecc.), allora aiuterà l'accuratezza a riscriverlo come $f(x)$

\frac{1}{π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\infty} f (X) \cos (X peccato θ) d X d θ

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \int_0^\infty f(x) \cos(x\sin\theta) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta$

ed esegui prima l'integrale interno numericamente. Non riesco a vedere alcun motivo per cui dovrei aspettarmi che funzioni, ma ancora una volta l'accuratezza di un metodo numerico è raramente ovvia.

Ovviamente so che il modo migliore per farlo è usare un metodo ottimizzato per integrali oscillatori come questo, ma per amor di curiosità, supponiamo che mi limiti a usare qualche regola di quadratura. Qualcuno può confermare o smentire che questa trasformazione tende a migliorare l'accuratezza dell'integrale? E / o indicarmi una fonte che lo spiega?

quadrature special-functions

— David Z
fonte

Integrato su

... È una delle definizioni integrali della funzione di Bessel.

0 \leq θ \leq π

$0\le\theta \le\pi$

— David Z,

Quindi la tua domanda è: date le formule di quadratura

point generiche

, è

N

$N$

Q_{\infty}^{N} [\cdot]

$Q_\infty^N[\cdot]$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

Q_{π}^{N} [\cdot]

$Q_\pi^N[\cdot]$

[0, π]

$[0,\pi]$

peggiore o migliore di

Q_{\infty}^{N \cdot M} [f J_{0}]

$Q^{N\cdot M }_\infty[f\,J_0]$

Q_{π}^{M} [Q_{\infty}^{N} [f (x) \cos (x \sin θ)]]

$Q^M_\pi[Q_\infty^N[f(x)\,\cos(x\sin\theta)]]$

— Stefano M,

@StefanoM sì, esatto.

— David Z,

FWIW, uno dei metodi più efficienti per valutare la funzione di Bessel di ordine zeroth è la regola trapezoidale, che è ben nota per dare risultati molto precisi quando si integrano integrali periodici su un periodo (anche meglio del solito standard, quadratura gaussiana). Quindi: potrebbe aiutare, potrebbe non farlo.

— JM

Non penso che faccia alcuna differenza. Devi scegliere una quadratura abbastanza alta per l'integrale sopra modo che sia uguale alla funzione di Bessel . Ho scelto l'ordine 20 nell'esempio seguente, ma devi sempre fare la convergenza per quanto riguarda la funzione e l'intervallo esatti su cui ti integri. Poi ho fatto la convergenza con , l'ordine della quadratura gaussiana dell'integrale su . Ho scelto e utilizzo il dominio , è possibile modificare $\theta$ $J_0$ $n$ $x$ $f(x) = e^{-x} x^2$ $[0, x_\text{max}]$ $x_\text{max}$ sotto. Ho ottenuto:

 n      direct         rewritten
 1  0.770878284949  0.770878284949
 2  0.304480978430  0.304480978430
 3  0.356922151260  0.356922151260
 4  0.362576361509  0.362576361509
 5  0.362316789057  0.362316789057
 6  0.362314010897  0.362314010897
 7  0.362314071949  0.362314071949
 8  0.362314072182  0.362314072182
 9  0.362314072179  0.362314072179
10  0.362314072179  0.362314072179

$n=9$

Ecco il codice:

from scipy.integrate import fixed_quad
from scipy.special import jn
from numpy import exp, pi, sin, cos, array

def gauss(f, a, b, n):
    """Gauss quadrature"""
    return fixed_quad(f, a, b, n=n)[0]

def f(x):
    """Function f(x) to integrate"""
    return exp(-x) * x**2

xmax = 3.

print " n      direct         rewritten"
for n in range(1, 20):
    def inner(theta_array):
        return array([gauss(lambda x: f(x) * cos(x*sin(theta)), 0, xmax, n)
            for theta in theta_array])
    direct = gauss(lambda x: f(x) * jn(0, x), 0, xmax, n)
    rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi
    print "%2d  %.12f  %.12f" % (n, direct, rewritten)

xmax $[0, \infty]$ f(x)rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi

— Ondřej Čertík
fonte

Sospetto che tu abbia ragione, i miei test hanno mostrato risultati simili.

— David Z,