Strana oscillazione quando si risolve l'equazione di avanzamento per differenza finita con condizioni al contorno di Neumann completamente chiuse (riflessione ai confini)

Sto cercando di risolvere l'equazione di avanzamento ma ho una strana oscillazione che appare nella soluzione quando l'onda si riflette dai confini. Se qualcuno avesse già visto questo artefatto, sarei interessato a conoscere la causa e come evitarlo!

Questa è una gif animata, aperta in una finestra separata per visualizzare l'animazione (verrà riprodotta solo una volta o meno una volta memorizzata nella cache!)

Si noti che la propagazione sembra altamente stabile fino a quando l'onda inizia a riflettere dal primo confine. Cosa pensi possa succedere qui? Ho trascorso alcuni giorni a controllare due volte il mio codice e non riesco a trovare alcun errore. È strano perché sembrano esserci due soluzioni di propagazione: una positiva e una negativa; dopo il riflesso dal primo confine. Le soluzioni sembrano viaggiare lungo punti mesh adiacenti.

Seguono i dettagli di implementazione.

L'equazione di avanzamento,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}$

dove è la velocità di propagazione.$\boldsymbol{v}$

Crank-Nicolson è una discretizzazione stabile incondizionatamente (pdf link) per l'equazione di avanzamento a condizione che stia lentamente cambiando nello spazio (contiene solo componenti a basse frequenze quando Fourier si trasforma).$u(x)$

La discretizzazione che ho applicato è,

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

Mettere le incognite sul lato destro consente di scrivere questo in forma lineare,

$\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} -\beta r\phi_{j+1}^{n+1} = -(1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} + (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$

dove (per prendere la media temporale ponderata uniformemente tra il punto presente e futuro) e .$\beta=0.5$$r=\boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2\Delta x}$

Questo insieme di equazioni ha la forma di matrice , dove,$A\cdot u^{n+1} = M\cdot u^n$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & -\beta r & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & \beta r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & (1 - \beta)r & & & 0 \\ -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r \\ 0 & & &-(1 - \beta)r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

I vettori e sono noti e sconosciuti della quantità per cui vogliamo risolvere.$u^n$$u^{n+1}$

Applico quindi le condizioni al contorno di Neumann chiuse sui confini sinistro e destro. Per confini chiusi intendo su entrambe le interfacce. Per limiti chiusi si scopre che (non mostrerò il mio lavoro qui) dobbiamo solo risolvere l'equazione della matrice sopra. Come sottolineato da @DavidKetcheson, le equazioni di matrice sopra descrivono effettivamente le condizioni al contorno di Dirichlet . Per le condizioni al contorno di Neumann,$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Aggiornare

Il comportamento sembra abbastanza indipendente dalla scelta delle costanti che uso, ma questi sono i valori per la trama che vedi sopra:

• $\boldsymbol{v}$ = 2
• dx = 0,2
• dt = 0.005
• $\sigma$ = 2 (Gaussian hwhm)
• $\beta$ = 0,5

Aggiornamento II

Una simulazione con coefficiente di diffusione diverso da zero, (vedi commenti sotto), l'oscillazione scompare, ma l'onda non riflette più !? Non capisco perché?$D=1$

L'equazione che stai risolvendo non consente le soluzioni giuste, quindi non esiste una condizione al contorno riflettente per questa equazione. Se consideri le caratteristiche, ti renderai conto che puoi solo imporre una condizione al limite giusto. Stai cercando di imporre una condizione omogenea al confine di Dirichlet al limite sinistro, che è matematicamente non valida.

Per ribadire: il metodo delle caratteristiche dice che la soluzione deve essere costante lungo qualsiasi linea del modulo per ogni costante . Quindi la soluzione lungo il limite sinistro è determinata dalla soluzione in tempi precedenti all'interno del dominio del problema; non puoi imporre una soluzione lì.$x-\nu t = C$$C$

Diversamente l'equazione, il tuo schema numerico non ammette soluzioni destro del corso. Le modalità di funzionamento a destra sono definite modalità parassitarie e coinvolgono frequenze molto elevate. Si noti che l'onda a destra è un pacchetto di onde a dente di sega, associato alle frequenze più alte che possono essere rappresentate sulla griglia. Quell'onda è puramente un artefatto numerico, creato dalla tua discretizzazione.

Per enfasi: non hai scritto l'intero problema del valore del limite iniziale che stai cercando di risolvere. Se lo fai, sarà chiaro che non è un problema matematicamente ben posto.

Sono contento che tu l'abbia pubblicato qui, tuttavia, poiché è una bella illustrazione di ciò che può accadere quando discretizzi un problema che non è ben posto, e del fenomeno delle modalità parassitarie. Un grande +1 per la tua domanda da parte mia.

Ho imparato molto dalle risposte sopra. Voglio includere questa risposta perché credo che offra diverse intuizioni al problema.

Consideriamo l'equazione con velocità d'onda costante .

Senza condizioni iniziali e al contorno questa equazione ha una soluzione della forma . (un impulso si sposta verso destra)$u(x,t)=f(x-ct)$

Se imponiamo una condizione iniziale , la soluzione dell'equazione nell'intervallo è . Non c'è limite e questa è la soluzione.$u(x,t_0)=p(x)$$x \in (-\infty, \infty)$$p[x-c(t-t_0)]$

Supponiamo ora di definire un dominio limitato , dopo che tutti i computer hanno memoria limitata. Quindi dobbiamo specificare i valori in e , altrimenti computazionalmente siamo bloccati.$x \in [a,b]$$a$$b$

Un modo per definire le condizioni al contorno è usare Dirichlet sul limite sinistro e una condizione coerente con la soluzione da propagare. Cioè, possiamo definire (assumiamo il tempo iniziale ) $t_0$

Questo produce un impulso che corre verso destra finché non scompare sul bordo destro.

spingere qui per l'animazione su Dirichlet sul limite sinistro

Continuo a sentire un po 'di rumore che non riesco a capire (qualcuno potrebbe aiutarmi qui per favore?)

L'altra opzione è quella di imporre condizioni al contorno periodiche. Cioè invece di imporre la condizione di confine di Dirichlet a sinistra, possiamo imporre il pacchetto d'onda che è coerente con il confine a sinistra. Questo è:

Tuttavia per e , e poiché abbiamo bisogno di inserire i dati all'interno dell'intervallo aggiungiamo un "periodo" di lunghezza e quindi troviamo , in modo che la condizione a sinistra sia (stesso!) e avremmo un impulso in uscita a destra ed entrando a sinistra.$a-c(t-t_0) <a$$t>t_0$$c>0$$[a,b]$$b-a$$a-c(t-t_0)+b-a=a+b(t-t_0)$$u(a,t_0)=p[b-c(t-t_0]$

Questo link mostra quelle che definirei condizioni al contorno periodiche.

Ho realizzato le animazioni in pitone e lo schema è uno schema di Crank-Nicholson come indicato nella domanda qui.

Sto ancora lottando con il modello di rumore dopo che l'onda ha colpito il primo (giusto) limite.