Dove posso trovare un buon riferimento per le proprietà di stabilità di diversi metodi per risolvere le PDE paraboliche?

In questo momento ho un codice che utilizza l'algoritmo Crank-Nicholson, ma penso che mi piacerebbe passare a un algoritmo di ordine superiore per il timestrap. So che l'algoritmo Crank-Nicholson è stabile nel dominio in cui voglio lavorare, ma temo che alcuni altri algoritmi potrebbero non esserlo.

So calcolare la regione di stabilità di un algoritmo, ma può essere una specie di dolore. Qualcuno conosce qualche buon riferimento per le proprietà di stabilità di un gran numero di algoritmi di marcatura temporale per PDE parabolici?

Il mio preferito è il libro di John Strikwerda, "Schemi delle differenze finite ed equazioni differenziali parziali" .

Ha un ottimo trattamento della teoria della stabilità usando l'analisi di Fourier. Ho solo la prima edizione, in cui non presenta l'idea di una regione di stabilità. Secondo il sito web SIAM, la seconda edizione ha aggiunto questo materiale.

Risposta molto breve: per un riferimento completo, non puoi battere Hairer e Wanner volume II .

Risposta breve: ecco alcuni script MATLAB per tracciare la regione di stabilità di un metodo lineare multiplo o Runge-Kutta , dati i coefficienti. Potresti anche usare il pacchetto nodepy di Python (dichiarazione di non responsabilità: è il mio pacchetto e non è il software più raffinato, ma la stampa di regioni di stabilità è una cosa che fa molto bene). Le istruzioni per tracciare le regioni di stabilità sono qui .

Risposta più lunga: ci sono tre classi di metodi che potrebbero interessarti qui.

• $A$$A$-stabilità. Alcuni esempi di tali metodi sono i metodi Gauss-Legendre, Radau e Lobatto. Tutti questi sono completamente impliciti e quindi piuttosto costosi.

• $A(\alpha)$ode15s()$\alpha$

• Metodi espliciti , che dovranno includere solo un intervallo finito sull'asse reale negativo. Esistono metodi espliciti "stabilizzati" speciali (in particolare, i metodi Runge-Kutta-Chebyshev ) che hanno ampie regioni di stabilità dell'asse reale negativo e sono adatti a problemi lievemente rigidi, ma di solito non per problemi parabolici. Un buon ingresso in quella letteratura è questo documento , che include molte informazioni sulle regioni di stabilità.

$L$$L$

Aggiornamento : se tu davvero bisogno di sapere tutto su questo argomento, procurati una copia della monografia di Dekker e Verwer . Ha una delle migliori introduzioni esistenti a concetti come le costanti di Lipschitz unilaterali, la norma logaritmica e diversi concetti di stabilità più profonda. È esaurito, ma di solito puoi trovare copie usate su Amazon (a un prezzo!)