Quadratura numerica con derivati

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La maggior parte dei metodi numerici per la quadratura considera l'integrando come una funzione di scatola nera. E se avessimo maggiori informazioni? In particolare, quali benefici possiamo derivare dalla conoscenza dei primi derivati dell'integrando? Quali altre informazioni potrebbero essere utili?

In particolare per i derivati: le stime di errore per la quadratura di base (regole del rettangolo / trapzoide / simpson) sono strettamente correlate. Forse c'è un modo per preselezionare la risoluzione di campionamento invece di fare affidamento sull'adattività dinamica?

Sono interessato sia al caso univariato che a quello multidimensionale.

quadrature error-estimation

— MRocklin
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Solo una piccola correzione: il rettangolo, il trapezio e la regola di Simpson sono regole di tipo Newton-Cotes, non quadrature gaussiane.

— Pedro,

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Penso che questo non sia esattamente ciò che avevi in mente, ma per completezza, iniziamo con alcune basi. La maggior parte delle formule di quadratura come Newton-Cotes e Gauss si basano sull'idea che per valutare approssimativamente l'integrale di una funzione, è possibile approssimare la funzione mediante, ad esempio, un polinomio che è possibile integrare esattamente:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes e Gauss sono basati sull'interpolazione di Lagrange , il che significa che interpoli la funzione data usando i suoi valori su un insieme di nodi (che sono distanziati uniformemente per Newton-Cotes e scelti in modo ottimale in un certo senso per Gauss). In questo caso, e gli integrali sopra le funzioni di base nodale polinomiale sono esattamente i pesi in quadratura. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

Lo stesso approccio funziona con l' interpolazione di Hermite , cioè l'interpolazione usando i valori di una funzione e i suoi derivati fino a un certo ordine su un insieme di nodi. Nel caso della sola funzione e dei primi valori derivati, hai (C'è un'implementazione di Matlab di questo, se vuoi vedere come funziona.)

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

Ciò è legato a una variante della quadratura di Gauss chiamata quadratura di Gauss-Legendre, in cui i nodi sono scelti proprio per far svanire i pesi (che è un'altra spiegazione del fatto che la quadratura di Gauss con nodi è esatta dell'ordine ). Penso che questo risponda almeno parzialmente alla tua domanda nel secondo paragrafo. Per questo motivo, di solito viene utilizzata la quadratura di Gauss invece dell'interpolazione di Hermite, poiché si ottiene lo stesso ordine con lo stesso numero di punti, ma non sono necessarie informazioni derivate. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Per la quadratura multidimensionale, affronti il problema che il numero di derivati (compresi i derivati misti) che devi valutare cresce molto rapidamente all'aumentare dell'ordine.

Tornando alla tua domanda: un modo semplice per sfruttare le informazioni derivate sarebbe usare una suddivisione del dominio di integrazione e utilizzare una quadratura separata per ogni divisione. Se sai che le derivate della tua funzione sono grandi in alcune parti del dominio, useresti domini più piccoli (in effetti, una formula di quadratura sommata) o un ordine di quadratura superiore. Ciò è legato all'adattabilità h e p , rispettivamente, nei metodi agli elementi finiti.

— Christian Clason
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Esistono numerose regole di integrazione "corrette" che invocano i derivati degli endpoint. Un semplice esempio è la regola trapezoidale corretta. Supponiamo di voler approssimare l'integrale

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

Sia un numero intero e . Quindi la regola trapezoidale $n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

fornisce una semplice approssimazione all'integrale, con errore dell'ordine . Tuttavia, la regola trapezoidale "corretta": $h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

aumenta notevolmente la precisione. Ad esempio, considera

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

e scegli . Il valore esatto di , con 14 decimali, è $n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

E i valori di e sono $T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

rispettivamente. Gli errori sono

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

e

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

mostrando un notevole aumento della precisione. Ci sono ulteriori correzioni che coinvolgono derivati più elevati, o a partire da altre regole di Newton-Cotes o regole di tipo gaussiano.

— Alasdair
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$\text{polynomial}\times\text{weight function}$ Esattamente. Come previsto, per utilizzare questa regola, ora ci si aspetta che sia in grado di valutare la propria funzione e un certo numero di suoi derivati in punti reali arbitrari. Una ricerca nei soliti posti dovrebbe essere in grado di mostrare qualche altro riferimento.

— JM
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Sebbene questo thread sia piuttosto vecchio, ho pensato che potesse essere utile avere un riferimento a un documento peer-reviewed per generalizzazioni di alcune regole di quadratura comuni.

Nenad Ujevic, "Una generalizzazione della regola di Simpson modificata e limiti di errore", ANZIAM Journal, vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Ho pensato che sarebbe stato utile fornire un buon riferimento liberamente accessibile e con riferimenti ad altri documenti.

Come notato da Alasdair sopra, anche i derivati degli endpoint possono aumentare notevolmente la precisione. Ad esempio, Ujevic e Roberts hanno dimostrato che l'aggiunta dei primi derivati alla Regola di Simpson riduce l'errore al sesto ordine nella spaziatura della griglia, mentre è il 4 ° ordine senza i derivati. L'articolo di Ujevic mostra che è possibile trovare limiti di errore ancora più stretti.

N. Ujevic e AJ Roberts, Una formula in quadratura corretta e applicazioni, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 – E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason mi ha suggerito di spostare un commento che ho inserito nella risposta perché pensava che i riferimenti che fornisco fossero buoni e che potrebbero andare persi se i commenti vengono cancellati in qualche momento.)

— Lysistrata
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Puoi commentare i risultati presentati nell'articolo?

— Nicoguaro

Ora posso avere abbastanza punti rep! Ho pensato che sarebbe stato utile fornire un buon riferimento liberamente accessibile e con riferimenti ad altri documenti. Come notato da Alasdair sopra, anche i derivati degli endpoint possono aumentare notevolmente la precisione. Ad esempio, nel riferimento 6 dell'articolo che ho collegato, Roberts e Ujevic hanno mostrato che l'aggiunta dei primi derivati alla Regola di Simpson riduce l'errore al sesto ordine nella spaziatura della griglia, mentre è il 4 ° ordine senza i derivati. L'articolo di Ujevic mostra che è possibile trovare limiti di errore ancora più stretti.

— Lisistrata,

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@Lysistrata È un bel riferimento. Puoi modificare i tuoi commenti nella risposta stessa? I commenti possono andare via e sarebbe un peccato perderli.

— Christian Clason,