Sono richiesti 8 punti Gauss per gli elementi finiti esaedrici del secondo ordine?

È possibile ottenere la precisione del secondo ordine per gli elementi finiti esaedrici con meno di 8 punti Gauss senza introdurre modalità non fisiche? Un singolo punto Gauss centrale introduce una modalità di taglio non fisico e la disposizione simmetrica standard di 8 punti Gauss è costosa rispetto alle discretizzazioni tetraedriche.

Modifica : qualcuno ha chiesto equazioni. Le equazioni che mi interessano sono l'elasticità non lineare, dinamica o quasistatica. Le equazioni quasistatiche sono

\nabla \cdot P (\nabla ϕ) = 0

$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$

dove , e è una prima funzione di stress iperelastica di Piola-Kirchoff. Un semplice esempio è comprimibile neo-hookean, dove $\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$ $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ $P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

P (F) = μ (F - F^{- T}) + λ F^{- T} \log det F

$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$

finite-element accuracy

— Geoffrey Irving
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Cosa stai simulando esattamente?

— Dan

Elasticità lineare al momento, ma la domanda riguarda l'elasticità non lineare in generale.

— Geoffrey Irving il

Probabilmente dovresti includere le equazioni che ti interessano, poiché la definizione di "non fisico" dipende da esse. O almeno definire con precisione lo spazio delle funzioni "fisiche".

— David Ketcheson,

Equazioni aggiunte.

— Geoffrey Irving il

Con dPhi / dx, intendi il gradiente?

— Wolfgang Bangerth,

Risposte:

Per quanto riguarda le simulazioni di meccanica dei solidi agli elementi finiti, non è possibile utilizzare meno di 8 punti di quadratura senza usare le forze di stabilizzazione. In caso di materiale incomprimibile (il tuo caso), la migliore soluzione ai fini della precisione è quella di utilizzare una formulazione mista. Puoi fare riferimento al libro di Simo e Hughes: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC .

— Nicolas Tardieu
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È relativamente ovvio che in generale non è possibile cavarsela con meno punti di quadratura per cella rispetto ai gradi di libertà. Nel caso di elementi trilineari su un esaedro 3d, ci sono 8 gradi di libertà (uno per vertice), quindi anche il numero minimo di punti di quadratura sarebbe otto.

che non è invertibile e di conseguenza completamente inutile. Il motivo è che una formula di quadratura a un punto non può distinguere tra tutte le funzioni lineari (parte dello spazio di prova) che hanno lo stesso valore nel punto di quadratura; in altre parole, per la regola del punto medio, la funzione di forma 'x' è la stessa della funzione '0' è la stessa della funzione '-x'. In altre parole, mentre lo spazio di prova ha dimensione 2 con integrali esatti, per la regola del punto medio lo spazio ha dimensione 1, anche se ci sono due gradi di libertà - questa è la definizione di uno spazio che non è insolente.) per la regola del punto medio, la funzione forma 'x' è uguale alla funzione '0' è uguale alla funzione '-x'. In altre parole, mentre lo spazio di prova ha dimensione 2 con integrali esatti, per la regola del punto medio lo spazio ha dimensione 1, anche se ci sono due gradi di libertà - questa è la definizione di uno spazio che non è insolente.) per la regola del punto medio, la funzione forma 'x' è uguale alla funzione '0' è uguale alla funzione '-x'. In altre parole, mentre lo spazio di prova ha dimensione 2 con integrali esatti, per la regola del punto medio lo spazio ha dimensione 1, anche se ci sono due gradi di libertà - questa è la definizione di uno spazio che non è insolente.)

— Wolfgang Bangerth
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Penso che la domanda di Geoff sia più sottile. Per spazi di elementi finiti continui su tetraedri in domini ben formati (ad es. Senza elementi isolati), è possibile cavarsela con quadrature a punto singolo che sono chiaramente sottointegrazione. La domanda è se lì è anche possibile sottointegrare in qualche modo con elementi hexahedral. Non conosco la risposta, ma non sono sicuro di quanto sia grande dato che i punti di quadratura non richiedono un movimento di memoria aggiuntivo. Dopo aver vettorializzato la valutazione residua degli elementi finiti, è comune che sia associato alla memoria, quindi potresti stare meglio usando i flop.

— Jed Brown,

Un buon punto sul movimento della memoria.

— Geoffrey Irving il

Espandere sul punto di Jed: la ragione per cui l'argomento "ovvio" sopra è falso è che ogni punto di quadratura vede una matrice . Per il tetraedro, che copre tutti i movimenti dei vertici esclusa la traduzione uniforme, che non influenza l'energia o le forze, quindi un punto di quadratura è sufficiente per la precisione del primo ordine.

3 \times 3

$3 \times 3$

— Geoffrey Irving il

Piuttosto scomodo che i commenti non possano includere nuove righe.

— Geoffrey Irving il

@JedBrown: buon punto. Il gradiente delle funzioni lineari sulle tet sono costanti e quindi è sufficiente un singolo punto di quadratura, seguendo l'argomento che ho fatto per la matrice di massa (la matrice di rigidità è la matrice di massa per i gradienti :-). D'altra parte, i gradienti delle funzioni trilineari sull'esahedra sono funzioni quadratiche (anisotropiche), quindi è necessario sicuramente più di un solo punto di quadratura per direzione delle coordinate.

— Wolfgang Bangerth,