Perché i punti equispaziati si comportano male?

Descrizione dell'esperimento:

Nell'interpolazione di Lagrange, l'equazione esatta viene campionata in $N$ punti (ordine polinomiale $N - 1$ ) ed è interpolata in 101 punti. Qui $N$ varia da 2 a 64. Ogni volta che vengono preparati i grafici di errore $L_1$ , $L_2$ e $L_\infty$ . Si vede che, quando la funzione viene campionato a punti equi-distanziati, l'errore cade inizialmente (accade fino $N$ è minore di circa 15 o così) e quindi l'errore aumenta con ulteriore aumento $N$ .

Considerando che, se il campionamento iniziale viene eseguito in punti Legendre-Gauss (LG) (radici dei polinomi di Legendre) o punti Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) (radici di polinomi di Lobatto), l'errore scende a livello di macchina e non lo fa aumentare quando $N$ è ulteriormente aumentato.

Le mie domande sono:

Cosa succede esattamente nel caso di punti equidistanti?

Perché l'aumento nell'ordine polinomiale causa l'errore dopo un certo punto?

Questo significa anche che se uso punti equispaziati per la ricostruzione WENO / ENO (usando i polinomi di Lagrange), allora nella regione liscia, otterrei errori? (beh, queste sono solo domande ipotetiche (per la mia comprensione), non è davvero ragionevole ricostruire il polinomio dell'ordine di 15 o superiore per lo schema WENO)

Dettagli aggiuntivi:

Funzione approssimativa:

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$,$x \in [-1, 1]$

$x$ diviso in$N$ equispaziati (e successivamente LG). La funzione viene interpolata ogni volta a 101 punti.

risultati:

1. a) Punti equidistanti (interpolazione per $N = 65$ ):

1. b) Punti equidistanti (diagramma degli errori, scala del registro):

2. a) punti LG (Interpolazione per $N = 65$ ):

3. b) punti LG (diagramma degli errori, scala del registro):

Il problema con i punti equispaziati è che l'errore di interpolazione polinomiale, vale a dire

$$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$$

si comporta in modo diverso per diversi set di nodi . Nel caso di punti equispaziati, questo polinomio esplode ai bordi.$x_i$

Se usi punti Gauss-Legendre, il polinomio di errore si comporta in modo significativamente migliore, cioè non esplode ai bordi. Se si utilizzano nodi di Chebyshev , questo polinomio equioscilla e l'errore di interpolazione è minimo.

Questa è una domanda davvero interessante e ci sono molte possibili spiegazioni. Se stiamo tentando di utilizzare un'interpolazione polinomiale, nota che il polinomio soddisfa la seguente fastidiosa disuguaglianza

Dato un polinomio di grado non superiore a N che abbiamo$P$$N$

$$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$$

$x \in (-1,1)$

$$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$$

e nota che questo è acuto, nel senso che i polinomi di Chebysehv lo rendono un'equazione. Quindi, in altre parole, abbiamo il seguente limite combinato.

$$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$$

$N^2$$1/{N^2}$

Si scopre tuttavia che questo non è necessariamente un fenomeno polinomiale, suggerisco il seguente documento:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

Dice vagamente: se hai lo stesso potere di approssimazione della base polinomiale, non puoi usare punti equidistanti in modo stabile.

Non sono i punti equidistanti a costituire il problema. È il supporto globale delle funzioni di base insieme a punti equidistanti che è il problema. Un interpolante perfettamente ben condizionato che utilizza punti equidistanti è descritto nell'analisi numerica di Kress, usando le funzioni di base spline cubiche di supporto compatto.

Cosa succede esattamente nel caso di punti equidistanti?

Perché l'aumento nell'ordine polinomiale causa l'errore dopo un certo punto?

Questo è simile al fenomeno del Runge in cui, con nodi equispaziati, l'errore di interpolazione va all'infinito con l'aumento del grado polinomiale, cioè il numero di punti.

Una delle radici di questo problema si trova nella costante di Lebesgue, come osservato dal commento di @ Subodh alla risposta di @Pedro. Questa costante mette in relazione l'interpolazione con la migliore approssimazione.

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Alcune notazioni

$f \in C([a,b])$$x_k$

$$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$$

$p_n \in P_n$$(x_k, f(x_k))$$(x_k, f_k)$

$$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$$

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$\tilde{f}_k$$\tilde{p}_n$

$$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$$

Le stime di errore sono:

$$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$$

$$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$$

$\Lambda_n$

$$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$$

Con questo le stime finali sono:

$$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$$

$\infty$$L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

$\Lambda_n$

• indipendente dalla data:
• dipende solo dalla distribuzione dei nodi;
• un indicatore di stabilità (più è piccolo, meglio è).

$|| \cdot||_\infty$

Con il seguente teorema che abbiamo ottenuto abbiamo una stima dell'errore di interpolazione con la costante di Lebesgue:

$f$$p_n$

$$|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$$ $$d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$$

$\Lambda_n$

$\Lambda_n$$c$

$$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$$

$$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$$

$$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$$

Per altre distribuzioni di nodi, vedere ad esempio la tabella 1 di questo articolo .

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Ci sono molti riferimenti sul libro sull'interpolazione. On-line queste diapositive sono belle come riprendere.

Anche questo articolo aperto ([1])

Un confronto di interpolazione numerica a sette griglie di per polinomio sull'intervallo per vari confronti.

$\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

$d$$0 \le d \le n$$p_i$$\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$$f$$\{x_i\}_{i=1\ldots n}$ ha la forma

$$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$$

con le "funzioni di fusione"

$$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$$

Alcune proprietà di questi interpolanti:

• sono interpolanti razionali baricentrici senza poli reali ;
• ottenere ordini di approssimazione arbitrari ${\cal O}(h^{d+1})$ for $f \in C^{d+2}[a,b]$, regardless of the distribution of points;
• are somewhat similar to splines, in that they blend (local) polynomial interpolants $p_0, \ldots p_{n-d}$ with the $\lambda$'s acting as the blending functions;
• they reproduce polynomials of degree at most $d$ (or $d+1$ if $n-d$ is odd);
• can be written in barycentric form (see section 4 of Floater and Hormann's paper).

Caveat emptor: As expected (see the paper referenced by @Reid.Atcheson), increasing $d$ quickly degrades the conditioning of the approximation process.

There is some fairly recent work done by Klein to alleviate this problem. He modified the original Floater-Hormann approach by adding $2 d$ new data values corresponding to points outside the original interpolation interval $[a,b]$ constructed from a smooth extension of $f$ outside $[a,b]$ using only the given data $f_0, \ldots f_n$. This "global" data set is then interpolated by a new FH rational function $r_{n+2d}$ and evaluated only inside $[a,b]$.

The details are nicely laid out in Klein's paper (linked below), where it is shown that these extended rational interpolants have Lebesgue constants that grow logarithmically with $n$ and $d$ (whereas for the original FH scheme, said growth is exponential in $d$, see Bos et al.).

The Chebfun library uses FH interpolants when building chebfuns out of equispaced data, as explained here.

References:

M. S. Floater and K. Hormann, Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximation, Numerische Mathematik 107 (2007).

G. Klein, An Extension of the Floater–Hormann Family of Barycentric Rational Interpolants, Mathematics of Computation, 82 (2011) - preprint

L. Bos, S. De Marchi, K. Hormann, and G. Klein, On the Lebesgue constant of barycentric rational interpolation at equidistant nodes, Numer. Math. 121 (2012)