Qual è lo stato dell'arte nel calcolo integrale altamente oscillatorio?


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Qual è lo stato dell'arte nell'approssimazione di integrali altamente oscillatori in una dimensione e dimensioni superiori con precisione arbitraria?


È cattivo .. finora nessun metodo generale .. Solo molti tentativi, ma si aspettano che falliscano di tanto in tanto ... Alcuni articoli affermano di avere il jackpot, ma quando sembra troppo bello per essere vero ... lo è.

@Gigi: Benvenuti su SciComp! Il tuo commento è un po 'vago; potresti approfondire il motivo per cui pensi che lo stato dell'arte in approssimazione di integrali altamente oscillatori sia negativo?
Geoff Oxberry,

Bene, è vero che non esiste ancora un "proiettile magico" nel calcolo di integrali altamente oscillatori, ma ci accontentiamo di ciò che abbiamo e siamo sempre grati se funzionano.
JM,

Risposte:


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Non ho familiarità con ciò che ora viene fatto per le cubature (integrazione multidimensionale), quindi mi limiterò alle formule di quadratura.

Esistono numerosi metodi efficaci per la quadratura degli integrali oscillatori. Esistono metodi adatti per integrali oscillatori finiti e esistono metodi per integrali oscillatori infiniti.

Per infiniti integratori oscillatori, due dei metodi più efficaci utilizzati sono il metodo di Longman e la quadratura esponenziale doppia modificata dovuta a Ooura e Mori. (Ma vedi anche questi due articoli di Arieh Iserles.)

Il metodo di Longman si basa sulla conversione dell'integrale oscillatorio in una serie alternata suddividendo l'intervallo di integrazione e quindi sommando le serie alternate con un metodo di trasformazione della sequenza. Ad esempio, quando si integra un integrale oscillatorio della forma

0f(t)peccatotdt

uno lo converte nella somma alternata

ΣK=0Kπ(K+1)πf(t)peccatotdt

I termini di questa somma alternata sono calcolati con un metodo di quadratura come lo schema di Romberg o la quadratura gaussiana. Il metodo originale di Longman utilizzava la trasformazione di Eulero , ma le implementazioni moderne sostituiscono Eulero con metodi di accelerazione della convergenza più potenti come la trasformazione di Shanks o Levin .

Il doppio metodo della quadratura esponenziale , d'altra parte, effettua un cambiamento intelligente delle variabili e quindi utilizza la regola trapezoidale per valutare numericamente l'integrale trasformato.

Per gli integrali oscillatori finiti, Piessens (uno dei contributori di QUADPACK) e Branders, in due articoli , descrivono in dettaglio una modifica della quadratura di Clenshaw-Curtis (ovvero costruendo un'espansione polinomiale di Chebyshev della parte non ostruttiva dell'integrando). Il metodo di Levin , d'altra parte, utilizza un metodo di collocazione per la quadratura. (Mi è stato detto che ora esiste una versione più pratica del vecchio standby, il metodo di Filon, ma non ne ho esperienza.)


Questi sono i metodi che ricordo di persona; Sono sicuro di aver dimenticato altri buoni metodi per gli integrali oscillatori. Modificherò questa risposta in seguito se le ricordo.


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peccato(t)exp(iot)J0(t)exp(iog(t))w(t)

Inizialmente, i metodi di integrazione oscillatoria si concentravano su oscillatori specifici. Come affermato da JM , quelli di spicco includono il metodo Filon e il metodo Clenshaw-Curtis (questi due sono strettamente correlati) per gli integrali a gamma finita e i metodi basati sull'estrapolazione in serie e il metodo a doppia esponenziale di Ooura e Mori per integrali a gamma infinita.

Più recentemente, sono stati trovati alcuni metodi generali. Due esempi:

  1. exp(iog(t))w(t)

  2. Il metodo di Huybrechs e Vandewalle basato sulla continuazione analitica lungo un percorso complesso in cui l'integrando è non oscillatorio ( Huybrechs e Vandewalle 2006 ).

Non è necessaria alcuna distinzione tra metodi per integrali a intervallo finito e infinito per i metodi più generali, poiché una trasformazione compattante può essere applicata a un integrale a intervallo infinito, portando a un integrale oscillatorio a intervallo finito che può ancora essere affrontato con il metodo generale, anche se con un oscillatore diverso.

Il metodo di Levin può essere esteso a più dimensioni ripetendo le dimensioni e altri modi, ma per quanto ne so tutti i metodi descritti in letteratura finora hanno punti di campionamento che sono un prodotto esterno dei punti di campionamento unidimensionali o qualcos'altro che cresce esponenzialmente con la dimensione, quindi sfugge rapidamente di mano. Non sono a conoscenza di metodi più efficienti per dimensioni elevate; se ne fosse stato trovato uno simile su una griglia sparsa di dimensioni elevate sarebbe utile nelle applicazioni.

La creazione di routine automatiche per i metodi più generali può essere difficile nella maggior parte dei linguaggi di programmazione (C, Python, Fortran, ecc.) In cui normalmente ti aspetteresti di programmare il tuo integrando come una funzione / routine e passarlo alla routine dell'integratore, perché più i metodi generali devono conoscere la struttura dell'integrando (quali parti sembrano oscillanti, quale tipo di oscillatore, ecc.) e non possono trattarla come una "scatola nera".


Il documento Huybrechs / Vandewalle è qualcosa che non ho già visto, quindi +1 per quello. Sembra essere simile alla ricerca condotta da Temme e altri per la valutazione di funzioni speciali, tranne per il fatto che le espansioni asintotiche non sono coinvolte in Huybrechs / Vandewalle. Inoltre, ritengo che alcuni risolutori abbiano adottato un approccio simile per il primo problema della sfida di tre cifre di Trefethen.
JM il

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