Il principio massimo / minimo dell'equazione del calore è mantenuto dalla discretizzazione di Crank-Nicolson?

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Sto usando lo schema delle differenze finite di Crank-Nicolson per risolvere un'equazione del calore 1D. Mi chiedo se il principio massimo / minimo dell'equazione del calore (ovvero che il massimo / minimo si verifica nella condizione iniziale o sui limiti) valga anche per la soluzione discretizzata.

Ciò è probabilmente implicato dal fatto che Crank-Nicolson è uno schema stabile e convergente. Ma sembra che potresti essere in grado di dimostrarlo direttamente tramite un argomento di algebra lineare usando le matrici create dallo stencil di Crank-Nicolson.

Gradirei qualsiasi suggerimento alla letteratura su questo. Grazie.

— foobarbaz
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Ciao Foobarbaz, e benvenuto su Scicomp! Presumo che il problema che stai risolvendo non abbia termini di origine, giusto?

— Paolo

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Il principio massimo per Crank-Nicolson sarà se per timestepe spaziatura griglia. In generale, possiamo prendere in considerazione unschema della forma

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

dove

è la matrice laplaciana standard e

. Se

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

, quindi lo schema è stabile. (Ciò può essere facilmente dimostrato dalle tecniche di Fourier.) Tuttavia, il criterio più forte che

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

è necessario affinché il principio massimo sia valido in generale.

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Per una prova, vedi Soluzioni numeriche di equazioni differenziali parziali di KW Morton . In particolare, guarda le sezioni 2.10 e 2.11 e il teorema 2.2.

C'è anche un bel modo di vedere che il principio massimo non regge in generale per Crank-Nicolson senza un vincolo su . $\mu$

Considera l'equazione del calore su con una discretizzazione contenente 3 punti, incluso il limite. Let denotare la discretizzazione a passo temporale e punto di griglia . Assumi il confine di Dirichlet, in modo che $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ per tutto . Quindi Crank-Nicolson si riduce a $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$ che può essere ulteriormente ridotto a

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

Se consideriamo la condizione iniziale di , allora abbiamo $u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

In risposta alla richiesta di Foobarbaz, ho aggiunto uno schizzo della prova.

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

Supponiamo ora che il massimo sia raggiunto in un punto interno . Si noti che tutti i , $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

che è una contraddizione. Ne consegue che il massimo deve essere raggiunto anche in tutti i vicini temporali e spaziali di $u^{n+1}_j$ $u$

— Ben
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Grazie! Ti capita di conoscere un altro riferimento oltre a Morton? Non riesco ad accedere a quelle sezioni o al teorema nell'anteprima del libro di Google. Mi piacerebbe capire la prova.

— foobarbaz

@foobarbaz Non ho un altro riferimento utile, ma ho aggiunto uno schema della prova. Fammi sapere se posso renderlo più chiaro.

— Ben

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Stabilità significa che una perturbazione rimane limitata nel tempo. Ciò non significa che il massimo principio sia soddisfatto a livello discreto, questo è un problema diverso. Soddisfare il principio massimo discreto è sufficiente ma non necessario per la stabilità.

— Chris
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