Utilizzo dell'iterazione a virgola fissa per disaccoppiare un sistema di pde

Supponiamo di avere un problema con il valore limite:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Il mio obiettivo è scomporre la soluzione di questo problema accoppiato in una sequenza di PDE non accoppiati. Per disaccoppiare il sistema, sto applicando un'iterazione punto fisso a una sequenza di approssimazioni tale che $(u^k,v^k)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Teoricamente, questo mi permetterebbe di risolvere entrambe le equazioni come PDE puramente ellittiche. Tuttavia, non ho mai visto iterazioni a virgola fissa applicate ai PDE in questo modo. Ho visto iterazioni a virgola fissa applicate alle equazioni numericamente discretizzate (metodo delle differenze finite, metodo degli elementi finiti, ecc.), Ma mai direttamente alle equazioni continue.

Sto violando qualsiasi palese principio matematico facendo questo? È matematicamente valido? Potrei risolvere il PDE accoppiato come una sequenza di PDE disaccoppiati usando l'iterazione a virgola fissa applicata al problema della variabile CONTINUA, piuttosto che al problema della variabile DISCRETA?

A questo punto, non mi interessa davvero se sia pratico usare questo metodo, ma piuttosto se sia teoricamente plausibile. Qualsiasi commento sarebbe molto apprezzato!

pde iterative-method

— Paolo
fonte

Nella letteratura iperbolica sulla PDE, i passaggi frazionari e i metodi di suddivisione dell'operatore fanno un po 'quello che descrivi sopra.

— Geoff Oxberry,

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@BillBarth: Sì! L'ho appena corretto.

— Paolo

@GeoffOxberry: trovo che la suddivisione dell'operatore abbia un carattere molto diverso.

— anonimo

@Paul: riesco a pensare ad almeno un altro problema in cui i "PDE accoppiati" vengono risolti attraverso un'iterazione a punto fisso (e non solo formulati come problemi a punto fisso): decomposizione del dominio, vedi ad esempio il metodo Neumann – Dirichlet. (la differenza qui è che hai due PDE ma vivono su domini diversi e l'accoppiamento avviene solo attraverso un'interfaccia).

— anonimo

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (più condizioni al contorno).

È chiaro che se questa sequenza converge, sarà una soluzione del tuo set originale di PDE.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Questa logica funziona sia nello spazio continuo che in quello discreto.

— Nico Schlömer
fonte

| q | < 1

$|q|<1$