Oscillazioni in problemi di reazione-diffusione singolarmente perturbati con elementi finiti

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Quando si discretizza FEM e si risolve un problema di reazione-diffusione, ad es. con (perturbazione singolare), la soluzione del problema discreto in genere esibirà strati oscillatori vicino al confine. Con , e lineari elementi finiti, la soluzione assomiglia

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

soluzione del problema singolarmente perturbato

Vedo che c'è molta letteratura là fuori per tali effetti indesiderati quando sono causati dalla convezione (ad esempio, discretizzazioni controvento), ma quando si tratta di reazione, le persone sembrano concentrarsi su maglie raffinate (Shishkin, Bakhvalov).

Ci sono discretizatoni che evitano tali oscillazioni, cioè che preservano la monotonia? Cos'altro può essere utile in questo contesto?

— Nico Schlömer
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Lo schema di differenza centrale non preserva la monotonicità perché conduce a una matrice M ?

— Hui Zhang,

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@HuiZhang Hai ragione ovviamente nel caso di differenze finite (e anche di volumi finiti). Adatterò la risposta per affermare più chiaramente che sono interessato agli elementi finiti.

— Nico Schlömer,

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I metodi discontinui di Galerkin sono diventati piuttosto popolari per tali problemi - hai guardato il libro di Di Pietro ed Ern?

— Christian Clason,

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Nel caso che mostri, la soluzione ha un livello limite. Se non riesci a risolverlo perché la tua mesh è troppo grossolana, per tutte le questioni pratiche la soluzione è discontinua rispetto allo schema numerico.

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— Wolfgang Bangerth
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TL; DR: le tue opzioni sono limitate 1) vai alla forza bruta adattiva per una soluzione accurata e costosa 2) usa la diffusione numerica per una soluzione meno accurata ma stabile o (la mia preferita) 3) sfrutta il fatto che questo è un singolare problema di perturbazione e risolvi due problemi interni / esterni economici e lascia che gli asintotici abbinati facciano la sua magia!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ soluzione interna con facilità - in questo caso anche analiticamente.

Questa è in effetti la tecnica che era (ed è tuttora) molto popolare per risolvere i problemi degli strati limite laminari nella meccanica dei fluidi nel corso della giornata. In effetti, se osservi le equazioni di Navier-Stokes, con numeri di Reynolds elevati, stai effettivamente affrontando un singolare problema di perturbazione, che come quello che hai menzionato qui, sviluppa uno strato limite (fatto divertente: i termini "strato limite" nella perturbazione l'analisi in realtà proviene dal problema dello strato limite fluido che ho appena descritto).

$u_0 = 1$

— GradGuy
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