L'equazione di avanzamento con velocità variabile può essere conservativa?

Sto cercando di capire un po 'meglio l'equazione di avanzamento con coefficiente di velocità variabile. In particolare non capisco come l'equazione possa essere conservativa.

L' equazione di avanzamento ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

Interpretiamo $u(x,t)$ come la concentrazione di alcune specie fisiche ( $cm^{-3}$ ) o di qualche altra quantità fisica che non può essere creata o distrutta. Se integriamo $u(x,t)$ nel nostro dominio, dovremmo ottenere costanti,

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(Questo è ciò che intendo per essere conservatore.)

Se ora lasciamo che la velocità sia una funzione dello spazio (e del tempo), $\boldsymbol{v}(x,t)$ , allora la regola della catena deve essere applicata per dare,

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

Il termine finale "sembra" come un termine sorgente e questo è ciò che trovo confuso. Aumenterà o diminuirà la quantità $u$ base alla divergenza del campo di velocità.

Seguendo questa domanda , capisco come imporre condizioni al contorno di conservazione. Tuttavia, per l'equazione di avanzamento a velocità variabile non capisco come si possano derivare le condizioni al contorno di conservazione a causa del "termine sorgente" aggiuntivo che viene introdotto applicando la regola della catena. Questa equazione può essere conservativa? In tal caso, come si possono applicare le condizioni al contorno corrette?

advection conservation

— boyfarrell
fonte

La quantità fondamentale nel trasporto è il flusso , per l'avanzamento. Il teorema della divergenza afferma che $\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

Un'equazione è conservativa quando preserva questa uguaglianza. Passando a 1D con e usando l'equazione , abbiamo $\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{a}^{b} u)_{t} = \int_{a}^{b} u_{t} = - \int_{a}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{a}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

dove il termine a destra è solo la differenza di flusso tra i confini sinistro e destro.

Per quanto riguarda la tua seconda osservazione, la forma non conservativa (non divergente) è fuorviante (e giustificata solo per soluzioni lisce). Il prodotto non è un trasporto conservativo se non è privo di divergenze (cioè costante in 1D). È necessario attenersi alla forma conservativa e resistere all'impulso di applicare la regola della catena durante la valutazione delle proprietà di conservazione. $\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— Jed Brown
fonte

Grazie per una risposta davvero chiara, ancora una volta, Jed! Penso che farò una domanda di follow-up a questo, ma prima devo cercare di attuare il tuo suggerimento.

— boyfarrell,