Confusione su Quantum Monte Carlo

La mia domanda riguarda l'estrazione di osservabili dai metodi QMC, come descritto in questo riferimento .

Comprendo la derivazione formale di vari metodi QMC come Path Integral Monte Carlo. Tuttavia, alla fine della giornata sono ancora confuso su come utilizzare efficacemente queste tecniche.

L'idea di base della derivazione dei metodi Quantum MC è quella di discretizzare, tramite l'approssimazione del Trotter, un operatore che può essere la matrice di densità o l'operatore di evoluzione temporale di un sistema quantistico. Otteniamo quindi un sistema classico con una dimensione aggiuntiva che può essere trattato con metodi MC.

Dato che possiamo interpretare nell'operatore quantico sia come temperatura inversa e un tempo immaginario, lo scopo di questi algoritmi dovrebbe essere quello di calcolare un'approssimazione di questo operatore. Infatti, se misurassimo direttamente le quantità dalle varie configurazioni campionate lungo una simulazione, nel caso della "temperatura inversa" avremmo campioni che rispettano una densità di probabilità basata su , dove $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ è il numero di passaggi discreti introdotti nella decomposizione del trotter. Invece, nel caso del "tempo immaginario" avremmo ottenuto campioni in varie fasi temporali discrete, ottenendo così anche le medie nel tempo. Anche noi non otterremmo quantità come in un dato tempo , con qualche operatore osservabile. $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ $t$ $\hat{A}$

Tuttavia, a mio avviso, le quantità che campioniamo direttamente da questo tipo di simulazioni (prese da (5.34) del documento, pagina 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \underset{P}{Σ} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

non possono essere quantità legate al sistema quantistico, data la dimensione aggiuntiva. Invece, le quantità quantiche corrette possono essere calcolate tramite formule come (5.35), che contiene in ogni campione un'intera catena di configurazioni simulate : $M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} Σ_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} Σ_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

Ho ragione quando è necessaria una serie di simulazioni QMC per estrarre informazioni utili su un dato osservabile?

monte-carlo quantum-mechanics

— Pippo
fonte

Purché ti capisca correttamente, mi sembra che i due approcci siano equivalenti se il sistema è ergodico.

— Daniel Shapero,

@DanielShapero Cosa intendi esattamente con essere equivalente?

— Pippo,

Ho appena cercato su Google Monte Integrale e in realtà dovresti semplicemente ignorare quello che ho detto, è irrilevante.

— Daniel Shapero,

Non credo che ci siano dubbi su Quantum Monte Carlo; è molto ben compreso e rigorosamente sostenuto teoricamente ...

— Nick,

Cosa intendi con

è un numero e se

è una discretizzazione come hai detto, è un insieme. È

destinato ad essere il numero di Trotter?

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

— Dan

Risposte:

C'è molta confusione nella tua domanda. Il più importante per me è che ti manca quel QMC "ingenuo" che è il calcolo Monte-Carlo degli integrali in un metodo variazionale e diffusione Monte-Carlo sono metodi diversi con argomentazioni e derivazioni diverse.

Il punto principale tuttavia riguarda il tempo immaginario. Nella diffusione il tempo immaginario di Monte-Carlo è un trucco per convertire l'equazione di Schroedinger indipendente dal tempo in un'equazione simile alla diffusione dipendente dal tempo quale soluzione nel limite infinito di "tempo" tende a una soluzione dell'equazione originale di Schroedinger. Questo è tutto. Il tempo in DQMC non è reale.

Una spiegazione relativamente buona ma semplice è data in Reviews of Modern Physics, 73, 33 (2001) .

PS A proposito, cosa intendi per "Approssimazione del trotter" nella tua domanda?

— Misha
fonte

Non credo che questa confusione sia la mia domanda, dal momento che non ho mai fatto riferimento a Diffusion MC, la cui idea è piuttosto diversa, anche se parte anche da una discretizzazione dell'operatore densità / tempo-evoluzione (ma termina con una diversa interpretazione di esso).

— Pippo,

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

A proposito, alla fine ho risolto il mio problema chiedendo direttamente al professore alla fine dell'esame (che è andato molto bene: D), e sì, non possiamo direttamente collegare quantità simulate a quelle quantistiche desiderate.

— Pippo,

@Pippo Quindi, quello che volevi dire era Path-Integral Monte Carlo. Continuo a non vederti menzionarlo nella tua domanda.

— Misha,

Seconda riga: "Comprendo la derivazione formale di vari metodi QMC come Path Integral Monte Carlo." ;)

— Pippo,

Hai ragione sul fatto che le persone usano le tecniche Monte Carlo per calcolare le medie statistiche (al contrario delle informazioni risolte nel tempo) in ogni momento. Non è necessariamente vero che questo è ciò che dovrebbe essere calcolato: dipende dal tipo di informazioni che desideri. Forse hai un forzante esterno dipendente dal tempo, per esempio, e vuoi vedere come il sistema si evolve in risposta.

— Dan
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Grazie per avermi risposto. Proverò a fornire maggiori dettagli su ciò che sto chiedendo. Per rendermi più comprensibile, farò riferimento a questo lavoro che ho trovato su Internet: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

L'idea di base della derivazione dei metodi Quantum MC è quella di discretizzare, tramite l'approssimazione del trotter, un operatore che può essere la matrice di densità o l'operatore di evoluzione temporale di un sistema quantistico; in questo modo, otteniamo un sistema classico con una dimensione aggiuntiva che può essere trattata con metodi MC.

— Pippo,

M

$M$

Ecco la mia domanda: ho ragione con la mia interpretazione dei metodi Quantum Monte Carlo?

— Pippo,

Modificherò anche la mia domanda originale.

— Pippo,