Quali sono le differenze concettuali tra l'elemento finito e il metodo del volume finito?

Esiste un'ovvia differenza tra la differenza finita e il metodo del volume finito (passando dalla definizione dei punti delle equazioni alle medie integrali sulle celle). Ma trovo che FEM e FVM siano molto simili; entrambi usano la forma integrale e la media delle cellule.

Cosa sta facendo il metodo FEM che FVM non lo è? Ho letto un piccolo background sulla FEM. Capisco che le equazioni sono scritte in forma debole, questo dà al metodo un punto di affermazione leggermente diverso rispetto alla FVM. Tuttavia, non capisco a livello concettuale quali siano le differenze. FEM ipotizza in che modo l'ignoto varia all'interno della cellula, non è possibile farlo anche con FVM?

Vengo principalmente dalla prospettiva 1D, quindi forse FEM ha vantaggi con più di una dimensione?

Non ho trovato molte informazioni disponibili su questo argomento in rete. Wikipedia ha una sezione su come la FEM è diversa dal metodo delle differenze finite, ma a questo proposito, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .

Elemento finito: integrali volumetrici, ordine polinomiale interno

I metodi classici agli elementi finiti presuppongono spazi di approssimazione continui o debolmente continui e chiedono che gli integrali volumetrici della forma debole siano soddisfatti. L'ordine di precisione aumenta aumentando l'ordine di approssimazione all'interno degli elementi. I metodi non sono esattamente conservativi, quindi spesso lottano con la stabilità per i processi discontinui.

Volume finito: integrali di superficie, flussi da dati discontinui, ordine di ricostruzione

I metodi a volume finito utilizzano spazi di approssimazione costante a tratti e chiedono che gli integrali rispetto alle funzioni di test a costante pezzo siano soddisfatti. Questo produce precise dichiarazioni di conservazione. L'integrale del volume viene convertito in un integrale di superficie e l'intera fisica viene specificata in termini di flussi in quegli integrali di superficie. Per problemi iperbolici di primo ordine, questa è una soluzione di Riemann. I flussi di secondo ordine / ellittici sono più sottili. L'ordine di accuratezza viene aumentato usando i vicini per ricostruire (in modo conservativo) rappresentazioni di ordine superiore dello stato all'interno degli elementi (ricostruzione / limitazione della pendenza) o ricostruendo i flussi (limitazione del flusso). Il processo di ricostruzione è di solito non lineare per controllare le oscillazioni intorno alle caratteristiche discontinue della soluzione, vedere i metodi di riduzione totale della variazione (TVD) e essenzialmente non oscillatori (ENO / WENO). È necessaria una discretizzazione non lineare per ottenere contemporaneamente una precisione superiore al primo ordine in regioni uniformi e una variazione totale limitata tra le discontinuità, vedereTeorema di Godunov .

Commenti

Sia FE che FV sono facili da definire fino alla precisione del secondo ordine su griglie non strutturate. La FE è più semplice andare oltre il secondo ordine su reti non strutturate. FV gestisce le mesh non conformi in modo più semplice e robusto.

Combinazione di FE e FV

I metodi possono essere sposati in più modi. I metodi discontinui di Galerkin sono metodi ad elementi finiti che utilizzano funzioni di base discontinue, acquisendo così i solutori di Riemann e una maggiore robustezza per i processi discontinui (specialmente iperbolici). I metodi DG possono essere usati con limitatori non lineari (di solito con una certa riduzione della precisione), ma soddisfano una disparità di entropia cellulare senza limitazione e possono quindi essere utilizzati senza limitare alcuni problemi in cui altri schemi richiedono limitatori. (Ciò è particolarmente utile per l'ottimizzazione basata sull'aggiunto poiché rende l'aggiunta discreta più rappresentativa delle equazioni dell'aggiunta continua.) I metodi FE misti per problemi ellittici usano funzioni di base discontinue e dopo alcune scelte di quadratura, possono essere reinterpretati come metodi di volume finito standard , vedi questa risposta$P_N P_M$

Le differenze concettuali tra FEM e FVM sono sottili come le differenze tra un albero e un pino.

Se si confronta un certo schema FEM con la discretizzazione FVM applicata a un particolare problema, si può parlare di differenze fondamentali che diventano evidenti in diversi approcci di implementazione e diverse proprietà di approssimazione (come ha indicato @Jed Brown nella sua risposta).

Ma in generale direi che FVM è un caso speciale di FEM, che utilizza una griglia di celle e funzioni di test costanti a tratti. Questa relazione viene anche utilizzata per l'analisi di convergenza di FVM, come si può trovare nel libro di Grossmann, Roos & Stynes: trattamento numerico delle equazioni differenziali parziali .

La differenza di base è semplicemente il significato da allegare ai risultati. FDM prevede i valori in punti di qualsiasi aspetto della soluzione. L'interpolazione tra questi valori è spesso lasciata all'immaginazione dell'utente. FVM prevede medie delle variabili conservate all'interno di volumi di controllo specifici. Quindi predice le variabili integrate conservate e si può dimostrare che convergono in soluzioni deboli (discontinue). FEM fornisce un insieme di valori discreti dai quali una soluzione approssimativa può essere dedotta in modo inequivocabile ovunque invocando un insieme di funzioni di base. Di solito, ma non necessariamente, le variabili coinvolte sono conservative. È possibile avere metodi a differenza finita che sono conservativi in ​​un certo senso, secondo una particolare regola di quadratura.

Queste sono questioni di definizione. Esistono molte varianti di tutti e tre i metodi. Non tutti i metodi sono chiaramente di un tipo e i dettagli variano tra le aree di applicazione. I ricercatori che inventano un nuovo metodo impiegano quegli strumenti che aiuteranno a fornire le proprietà che stanno cercando. Come sembra che tu abbia trovato, è difficile trovare una discussione autorevole e sarebbe difficile per me fornirne una. Il miglior consiglio che posso dare è di continuare a leggere, senza aspettarmi una risposta totalmente chiara, ma dare credito alle cose che hanno senso per te.