Per valori complessi, perché usare il coniugato complesso in convoluzione?

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Tratto da Adaptive Filter Theory (2014) scritto da Haykin pagina 110:

y (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k}^{*} u (n - k), n = 0, 1, 2, . . .

$y(n) = \sum_{k=0}^{\infty} w_k^*u(n-k), \quad n=0,1,2,...$

dove $u$ e $w$ sono valori complessi. La mia domanda è: perché usare il coniugato complesso di $w_k$ ? La risposta trovata nel libro dice "..., in termini complessi, il termine $w_k^*u(n-k)$ rappresenta la versione scalare di un prodotto interno del coefficiente di filtro $w_k$ e l'ingresso del filtro $u(n-k)$ " . Ancora non capisco, puoi approfondire questa risposta?

— Ηλεκτρολόγος Μηχανικός
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Risulta che la convoluzione e la correlazione sono strettamente correlate. Per segnali reali (e segnali di energia finita):

convoluzione: $\qquad y[n] \triangleq h[n]*x[n] = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} h[n-m] \, x[m]$

Correlazione: $\qquad R_{yx}[n] \triangleq \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} y[n+m] \, x[m] = y[-n]*x[m]$

Ora, negli spazi metrici, ci piace usare questa notazione:

R_{x y} [n] ≜ ⟨ x [m], y [n + m] ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y [n + m]

$R_{xy}[n] \triangleq \Big\langle x[m], y[n+m] \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y[n+m]$

Il è il prodotto interno dei vettori e dove e . Quindi ci piace anche definire la norma di un vettore come $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $\mathbf{x} =\{x[n]\}$ $\mathbf{y} =\{y[n]\}$

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x^{2} [m]} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x^2[m]} \\ \end{align}$

e assomiglia molto alla lunghezza euclidea di un vettore con un numero infinito di dimensioni. Tutto questo funziona molto bene nel caso in cui gli elementi del vettore siano tutti reali. La normaè sempre reale e non negativo. $x[n]$ $\mathbf{x}$ $\| \mathbf{x} \|$

Quindi, se generalizziamo e permettiamo che gli elementi di siano valutati in modo complesso, allora se si deve usare la stessa definizione di norma, $\mathbf{x}$

‖ x ‖ ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩}

$\| \mathbf{x} \| \triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle}$

quindi la definizione del prodotto interno deve essere leggermente modificata:

⟨ x, y ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y^{*} [m]

$\Big\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y^*[m]$

Quindi se ha elementi a valore complesso, la norma viene fuori come: $\mathbf{x}$

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x^{*} [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} | x [m] |^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x^*[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}\Big|x[m]\Big|^2} \\ \end{align}$

Quindi, evidentemente, Haykin sta riportando quella definizione di prodotto interno alla definizione di convoluzione.

— Robert Bristow-Johnson
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L'uso del coniugato nella formazione del filtro adattativo non è necessario. Tuttavia, se non si scrive l'output utilizzando un coniugato, è abbastanza facile dimenticare che le variabili con cui si ha a che fare sono complesse. Se scrivi non è chiaro che hai a che fare con quantità complesse.

h (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k} (n) u (n - k)

$h(n)=\sum_{k=0}^{\infty}w_k(n)u(n-k)$

Come Robert ha già sottolineato, la definizione di correlazione deve essere aggiornata per gestire dati complessi se si è abituati a vederli definiti solo per dati reali.

Un altro motivo per usare il coniugato in questo modo è semplificare l'assunzione di derivati per trovare la soluzione al filtro adattativo. Supponiamo di avere una funzione oggettiva con valore reale che stiamo cercando di minimizzare - di solito questo è l'errore quadratico medio, cioè . Prendendo la derivata di questa quantità wrt non è così semplice. $J(w)$ $E[e^*(n)e(n)]$ $w$

La tecnica comune è scrivere la funzione oggettiva come una funzione di e - ovvero, trattare e come variabili indipendenti. Ora abbiamo $w$ $w^*$ $w$ $w^*$

J (w) = F (w, w^{*})

$J(w) = F(w,w^*)$

Per trovare il minimo prendiamo i derivati wrw e e li impostiamo a zero, quindi desideriamo risolvere $w$ $w^*$

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } = \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

Tuttavia, se esegui l'analisi troverai che

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = 0 ⟺ \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } =0 \iff \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

In questo modo devi solo risolvere una di queste equazioni.

Per i dettagli completi puoi guardare:

"Un operatore a gradiente complesso e la sua applicazione nella teoria adattiva dell'array", Brandwood 1983, Communications, Radar and Signal Processing, IEE Proceedings F
"The Complex Gradient Operator and the CR-Calculus" Kreutz-Delgado qui
"Gradiente complesso e iuta", van den Bos, 1994, visione, elaborazione di immagini e segnali, procedimento IEE

Per la teoria dei filtri adattativi, preferisco di gran lunga la presentazione in "Fondamenti del filtro adattivo" di Ali Sayed. Presenta una derivazione unificata di filtri LMS, NLMS, RLS, APA e Lattice.

— David
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