Distribuzione marginale della diagonale di una matrice distribuita inversa di Wishart

Supponiamo che . Sono interessato alla distribuzione marginale degli elementi diagonali . Ci sono alcuni semplici risultati sulla distribuzione delle sottomatrici di (almeno alcune elencate su Wikipedia). Da ciò posso capire che la distribuzione marginale di ogni singolo elemento sulla diagonale è Gamma inversa. Ma non sono stato in grado di dedurre la distribuzione congiunta. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Ho pensato che forse potrebbe essere derivato dalla composizione, come:

p (x_{11} | x_{i i}, i > 1) p (x_{22} | x_{i i}, i > 2) \dots p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

ma non ci sono mai arrivato e sospetto che mi manchi qualcosa di semplice; sembra che questo "dovrebbe" essere conosciuto ma non sono stato in grado di trovarlo / mostrarlo.

distributions probability pdf

— JMS
fonte

La proposizione 7.9 di Bilodeau e Brenner (il pdf è disponibile gratuitamente sul web) fornisce un risultato promettente per il Wishart (forse riporto per il Wishart inverso). Se si suddivide in blocchi come , allora è Wishart, così come e sono indipendenti.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

— Shabbychef,

Questa proposta si applica solo se conosci l'intera matrice: se hai solo la diagonale, allora non conosci ad esempio , quindi non puoi effettuare la trasformazione.

X_{12}

$X_{12}$

— petrelharp,

In generale si può decomporre una matrice qualsiasi covarianza in una decomposizione varianza-correlazione come Qui è la matrice di correlazione con le diagonali unitarie . Pertanto, le voci diagonali di ora fanno parte di una matrice diagonale di varianze . Poiché le voci fuori diagonale della matrice di varianza sono zero , la distribuzione congiunta che stai cercando è solo il prodotto delle distribuzioni marginali di ciascuna voce diagonale.

Σ = diag (Σ) Q diag (Σ)^{⊤} = D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

Consideriamo ora il modello standard di Wishart inverso per una matrice di covarianza dimensionale $d$ $\Sigma$

Σ ~ io W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

Gli elementi diagonali di sono marginalmente distribuiti come $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{io io} ~ INV- χ^{2} (ν + d - 1, \frac{λ_{io io}}{ν - d + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Un bel riferimento con una varietà di priori per la matrice di covarianza che si decompone in diverse distribuzioni di correlazione di varianza è dato qui

— user3303
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