Distribuzione di parti "non miscelate" in base all'ordine del mix

Supponiamo che io abbia accoppiato osservazioni disegnate come $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ per $i=1,2,\ldots,n$ . Lasciare $Z_i = X_i + Y_i,$ e Indichiamo con $Z_{i_j}$ la $j$ esima grande valore osservato di $Z$ . Qual è la distribuzione (condizionale) di ? (o equivalentemente, quello di ) $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

Questo è, qual è la distribuzione di subordinata è il esimo più grande di valori osservati di ? $X_i$ $Z_i$ $j$ $n$ $Z$

Immagino che come , la distribuzione diconverge al solo distribuzione incondizionata di, mentre, come, la distribuzione diconverge alla distribuzione incondizionataesima statistica d'ordine di. Nel mezzo, però, non sono sicuro. $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ $X_{i_j}$ $X$ $\rho \to \infty$ $X_{i_j}$ $j$ $X$

distributions order-statistics shrinkage

— shabbychef
fonte

Ho rimosso il tag "miscela" perché questa è una domanda su una somma (o, equivalentemente, su variabili normali correlate), non su una loro combinazione.

— whuber

è anche considerato indipendente da

, sì?

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

— cardinale

@cardinale: sì, sono indipendenti.

— shabbychef,

Una domanda recente e correlata che è emersa su math.SE: math.stackexchange.com/questions/38873/…

— cardinale

La soluzione pubblicata su math.SE è concettualmente identica alla soluzione che fornisco di seguito, ma formulata utilizzando una terminologia leggermente diversa.

— NRH

Risposte:

Osservare che la variabile casuale è solo una funzione di . Per un -vettore, , scriviamo per l'indice della coordinata più grande. Sia anche denota la distribuzione condizionale di $i_j$ $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ $n$ $\mathbf{z}$ $i_j(\mathbf{z})$ $j$ $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ $X_1$ dato . $Z_1$

Se rompiamo le probabilità in funzione del valore di e disgregarsi WRT otteniamo $i_j$ $\mathbf{Z}$

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \underset{K}{Σ} \int_{({io}_{j} (z) = K)} P (X_{K} \in UN | Z_{K} = z_{K}) P (Z \in d z) \\ = & \underset{K}{Σ} \int_{({io}_{j} (z) = K)} P_{z_{K}} (UN) P (Z \in d z) \\ = & \int P_{z} (UN) P (Z_{{io}_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

Questo argomento è abbastanza generale e si basa solo sui presupposti iid dichiarati, e potrebbe essere una qualsiasi funzione data di $Z_k$ $(X_k, Y_k)$ .

Sotto le ipotesi delle distribuzioni normali (prendendo ) e essendo la somma, la distribuzione condizionale di data è $\sigma_y = 1$ $Z_k$ $X_1$ $Z_1 = z$ e @probabilityislogic mostra come calcolare la distribuzione di, quindi abbiamo espressioni esplicite per entrambe le distribuzioni che entrano nell'ultimo integrale sopra. Se l'integrale può essere calcolato analiticamente è un'altra domanda. Potresti essere in grado di farlo, ma dalla parte superiore della mia testa non posso dire se è possibile. Per l'analisi asintotica quandoopotrebbe non essere necessario.

N (\frac{σ_{X}^{2}}{1 + σ_{X}^{2}} z, σ_{X}^{2} (1 - \frac{σ_{X}^{2}}{1 + σ_{X}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$

L'intuizione alla base del calcolo di cui sopra è che si tratta di un argomento di indipendenza condizionale. Dato le variabili e sono indipendenti. $Z_{k} = z$ $X_{k}$ $i_j$

— NRH
fonte

La distribuzione di non è difficile ed è data dalla distribuzione composta Beta-F: $Z_{i_{j}}$

p_{Z_{{io}_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

Dove è un PDF normale standard e è un CDF normale standard e $\phi(x)$ $\Phi(x)$ . $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$

Ora se ti viene dato che , allora $Y_{i_{j}}=y$ è una funzione da 1 a 1 di , ovvero. Quindi penso che questa dovrebbe essere una semplice applicazione della regola jacobiana. $X_{i_{j}}$ $Z_{i_{j}}$ $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

Sembra troppo facile, ma penso che sia corretto. Felice di essere mostrato sbagliato.

— probabilityislogic
fonte

Hai frainteso la domanda. Sto cercando la distribuzione di

in funzione di

. In realtà non osservo

e non posso condizionarli. Si può supporre, wlog che

, e quindi considerare solo i parametri

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$

— shabbychef,

ok - in modo sostanzialmente è necessario avere

rimosso da questa equazione? (integrato)

y

$y$

— Probislogic

sì; e non è indipendente da Z ...

— shabbychef,