Variabile casuale uniforme discreta (?) Che prende tutti i valori razionali in un intervallo chiuso

Ho appena avuto un attacco di panico (intellettuale).

• Una variabile casuale continua che segue un'uniforme in un intervallo chiuso $U(a,b)$ : un concetto statistico comodamente familiare.
• Un camper uniforme continuo con supporto sui reali estesi (metà o intero): non un camper vero e proprio, ma un concetto bayesiano di base per un precedente improprio, utile e applicabile.
• Un'uniforme discreta che prende un numero finito di valori: lanciamo una cupola geodetica, niente di grave.

Ma che dire di una funzione che ha come dominio tutti i razionali inclusi in un intervallo chiuso con limiti interi (inizia con se lo desideri)? E vogliamo usarlo in un quadro probabilistico, richiedendo che ogni possibile valore abbia pari probabilità con tutti gli altri?$[0,1]$

Il numero di valori possibili è numerabilmente infinito (che caratterizza molte distribuzioni discrete), ma come esprimere la probabilità di un singolo valore dato che vogliamo che le probabilità siano uguali?

Possiamo dire-mostrare-dimostrare che tale entità è (non è) una variabile casuale?

In caso contrario, si tratta di un'altra incarnazione (forse già nota) di un "priore improprio"?

È possibile che questa entità sia in un certo senso ben definito, per quanto speciale, "equivalente" a un rv uniforme continuo? O ho appena commesso un peccato cardinale (ity)?

Sembra che il fatto che il dominio sia un intervallo chiuso non mi lascia andare. Le cose delimitate sono generalmente gestibili.

Le domande sono molte per essere indicative del vortice interno: non sto chiedendo di ottenere risposte a ciascuna di esse.

Ogni volta che potrò venire a conoscenza di approfondimenti, aggiornerò.

AGGIORNAMENTO: la domanda attuale ha appena acquisito un sequel costruttivista qui.

Questa "variabile casuale" è simile all'idea di avere un precedente piatto sull'intera linea reale (il tuo secondo esempio).

Per mostrare che non può esserci alcuna variabile casuale tale che P ( X = q ) = c per tutto q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] e costante c , usiamo la proprietà additiva σ delle variabili casuali: l'unione numerabile di gli eventi disgiunti hanno probabilità pari alla somma (possibilmente infinita) di probabilità degli eventi. Quindi, se c = 0 , la probabilità P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 $X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$ , in quanto è la somma di molti zeri numerabili. Se c > 0 , allora P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = ∞ . Tuttavia, una variabile casuale appropriata che assume valori in Q ∩ [ 0 , 1 ] deve essere tale che P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 1 , quindi non esiste una tale variabile casuale.$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

La chiave qui, come forse già saprai, è che se lo spazio è composto da molti punti finiti, allora possiamo usare e non abbiamo problemi con la somma, e se lo spazio ha innumerevoli punti puoi avere c = 0 e l' additività σ non viene violata quando si integra nello spazio perché è un'affermazione su cose numerabili . Tuttavia, avrai problemi quando desideri una distribuzione uniforme su un set numerabile infinito.$c>0$$c=0$$\sigma$

Nel contesto di un priore bayesiano, tuttavia, puoi ovviamente dire che per tutti q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] se sei disposto a usare il priore improprio.$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$


$z +y =y+z$

$\mu$$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$
$\mu$
$\mu$

AGGIORNAMENTO: Ottieni immediatamente una misura sulle razionali dell'intervallo unitario che è uniforme in quel senso, considerando la misura push-forward di quella sulle razionali, che abbiamo costruito, lungo la mappa dalle razionali alle razionalità dell'intervallo unitario che mappano ogni razionale nella sua parte frazionaria.
Pertanto, dopo aver rilassato il requisito dell'additività finita, si ottengono tali misure in entrambi i casi menzionati.