Costruire un camper discreto avendo come supporto tutte le razionali in

Questo è il seguito costruttivista di questa domanda .

Se non possiamo avere una variabile casuale uniforme discreta avente come supporto tutte le razionali nell'intervallo , allora la cosa migliore è: $[0,1]$

Costruisci una variabile casuale che ha questo supporto, Q \ in \ mathbb {Q} \ cap [0,1] e che segue una certa distribuzione. E l'artigiano in me richiede che questa variabile casuale sia costruita da distribuzioni esistenti, piuttosto che creata definendo astrattamente ciò che desideriamo ottenere.$Q$$Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Quindi ho pensato a quanto segue:

Sia $X$ una variabile casuale discreta che segue la Geometric Distribution-Variant II con il parametro $0<p<1$ , ovvero

Sia anche $Y$ una variabile casuale discreta che segue la variante di distribuzione geometrica I con identico parametro $p$ , vale a dire

$X$ e $Y$ sono indipendenti. Definisci ora la variabile casuale

e considera la distribuzione condizionale

In parole sciolte " Q condizionale $Q$è il rapporto di $X$ su $Y$ condizione che $X$ sia minore o uguale a $Y$ ". Il supporto di questa distribuzione condizionata è $\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$ .

La "domanda" è: qualcuno può fornire la funzione di massa della probabilità condizionata associata?

Un commento ha chiesto "dovrebbe essere in forma chiusa"? Dal momento che ciò che costituisce una forma chiusa al giorno d'oggi non è così ben definito, lasciatemi dire così: stiamo cercando una forma funzionale in cui possiamo inserire un numero razionale da $[0,1]$ e ottenere la probabilità (per alcuni valore specificato del parametro $p$ ovviamente), portando ad un grafico indicativo del pmf. E quindi variare $p$ per vedere come cambia il grafico.

Se aiuta, allora possiamo rendere aperti uno o entrambi i limiti del supporto, sebbene queste varianti ci privino della possibilità di rappresentare graficamente i valori superiore e / o inferiore di pmf . Inoltre, se apriamo il limite superiore, dovremmo considerare l'evento di condizionamento .$\{X<Y\}$

In alternativa, accolgo con favore anche altri camper che hanno questo supporto / i, purché si incontrino con il loro pmf .

Ho usato la distribuzione geometrica perché ha prontamente disponibili due varianti con quella che non include zero nel supporto (in modo da evitare la divisione per zero). Ovviamente, si possono usare altri camper discreti, usando un troncamento.

Sicuramente darò una taglia a questa domanda, ma il sistema non lo consente immediatamente.

Considera la distribuzione discreta con supporto sull'insieme con masse di probabilità{ ( p , q $F$$\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

Questo è facilmente riassumibile (tutte le serie coinvolte sono geometriche) per dimostrare che è davvero una distribuzione (la probabilità totale è unità).

Per qualsiasi numero razionale diverso da zero supponga che sia la sua rappresentazione nei termini più bassi: ovvero, e .a / b = x b > 0 gcd ( a , b ) = $x$$a/b=x$$b\gt 0$$\gcd(a,b)=1$

G [ 0 , 1 ] ∩ $F$ induce una distribuzione discreta su tramite le regole$G$$[0,1]\cap \mathbb{Q}$

(e ). Ogni numero razionale in ha una probabilità diversa da zero (se devi includere tra i valori con probabilità positiva, togli una parte della probabilità da un altro numero - come - e assegnalo a ).( 0 , 1 ] 0 1 $G(0)=0$$(0,1]$$0$$1$$0$

Per capire questa costruzione, guarda questa rappresentazione di :$F$

p , q F p / q p q 0 1 G G G ( 1 ) 1 F ( 1 , 1 ) + F ( 2 , 2 ) + F ( 3 , 3 ) + ⋯ 3 / 8 + 3 / 32 + 3 / 128 + ⋯ = 1 /$F$ fornisce masse di probabilità in tutti i punti con coordinate integrali positive. I valori di sono rappresentati dalle aree colorate di simboli circolari. Le linee hanno pendenze per tutte le possibili combinazioni di coordinate e appaiono nel grafico. Sono colorati allo stesso modo dei simboli circolari: secondo le loro pendenze. Pertanto, la pendenza (che varia chiaramente da a ) e il colore corrispondono all'argomento di e i valori di si ottengono sommando le aree di tutti i cerchi che giacciono su ciascuna linea. Ad esempio,$p,q$$F$$p/q$$p$$q$$0$$1$$G$$G$$G(1)$si ottiene sommando le aree di tutti i cerchi (rossi) lungo la diagonale principale della pendenza , data da = .$1$$F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$$3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

Questa figura mostra un'approssimazione a ottenuta limitando : traccia i suoi valori a numeri razionali che vanno da a . Le masse di probabilità più grandi sono .q ≤ 100 3044 1 / 100 1 $G$$q\le 100$$3044$$1/100$$1$$\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

Ecco il CDF completo di (preciso per la risoluzione dell'immagine). I sei numeri appena elencati danno le dimensioni dei salti visibili, ma ogni parte del CDF è costituita da salti, senza eccezioni:$G$

Metterò insieme i miei commenti e li posterò come risposta solo per chiarezza. Mi aspetto che non sarai molto soddisfatto, poiché tutto ciò che faccio è ridurre il tuo problema a un altro.

La mia notazione:

Q ∩ [ 0 , 1 ] Q Q $Q$ è un camper il cui supporto è - la mia non è la stessa l'OP costruisce dal suo . Definiremo questa usando e , che presento di seguito.$\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$Q$$Q$ QY$\frac{X}{Y}$$Q$$Y$$f$

N ≡ { 1 , 2 , … }$Y$ è qualsiasi camper il cui supporto è - la fornita dall'OP funzionerebbe, per esempio.$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$$Y$

f : N → Q ∩ [ 0 , 1 ] f - $f$ è una corrispondenza uno a uno e è il suo inverso. Sappiamo che esistono.$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$f^{-1}$

Ora sostengo che posso ridurre il tuo problema semplicemente trovando una e la sua :f - $f$$f^{-1}$

Basta lasciare e il gioco è fatto. Il PMF di è . Q Pr [ Q = q ] = Pr [ Y = f - 1 ( q ) $Q=f\left(Y\right)$$Q$$\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

Modificare:

Ecco una funzione g che svolge il ruolo di , nonostante non sia una corrispondenza uno a uno (a causa dei duplicati):$f$

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}