CDF elevato a una potenza?

Se è un CDF, sembra che anche ( ) sia un CDF.F Z ( z ) α α > $F_Z$$F_Z(z)^\alpha$$\alpha \gt 0$

D: È un risultato standard?

D: C'è un buon modo per trovare una funzione con st , doveX ≡ g ( Z ) F X ( x ) = F Z ( z ) α x ≡ g ( z $g$$X \equiv g(Z)$$F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$$x \equiv g(z)$

Fondamentalmente, ho un altro CDF in mano, . In un certo senso, vorrei caratterizzare la variabile casuale che produce quel CDF.$F_Z(z)^\alpha$

EDIT: Sarei felice se potessi ottenere un risultato analitico per il caso speciale . O almeno sapere che un tale risultato è intrattabile.$Z \sim N(0,1)$

Mi piacciono le altre risposte, ma nessuno ha ancora menzionato quanto segue. L'evento $\{U \leq t,\ V\leq t \}$ verifica se e solo se $\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$ , quindi se $U$ e $V$ sono indipendenti e $W = \mathrm{max}(U,V)$ , quindi $F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ così per$\alpha$ un intero positivo (ad esempio,$\alpha = n$ ) prendere$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$ dove$Z$ s' sono iid

Per possiamo scambiare per ottenere F Z = F n X , quindi X sarebbe quella variabile casuale tale che il massimo di n copie indipendenti abbia la stessa distribuzione di Z (e questo non sarebbe uno dei nostri amici familiari , in generale). $\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$$n$$Z$

Il caso di un numero razionale positivo (diciamo, α = m / n ) segue il precedente poiché ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m$\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

Per un'irrazionale, scegliere una sequenza di razionali positivi a k che convergono in α ; quindi la sequenza X k (dove possiamo usare i nostri trucchi sopra per ogni k ) converge nella distribuzione alla X desiderata.$\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

Questa potrebbe non essere la caratterizzazione che stai cercando, ma almeno dà un'idea di come pensare a per α adeguatamente carino. D'altra parte, non sono davvero sicuro di quanto possa essere davvero bello: hai già il CDF, quindi la regola della catena ti dà il PDF e puoi calcolare i momenti prima che il sole tramonti ...? È vero che la maggior parte delle Z non avrà una X familiare per α = $F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$ , ma se volessi giocare con un esempio per cercare qualcosa di interessante, potrei provareZdistribuito uniformemente sull'intervallo unitario conF(z)=z,0<z<1.$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

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EDIT: ho scritto alcuni commenti nella risposta @JMS e c'era una domanda sulla mia aritmetica, quindi scriverò cosa intendevo nella speranza che sia più chiaro.

@ cardinale correttamente nel commento alla risposta @JMS ha scritto che il problema si semplifica in o più in generale quando Z non è necessariamente N ( 0 , 1 ) , noi avere x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) )

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ Il mio punto era che quando ha una bella funzione inversa possiamo semplicemente risolvere la funzione y = g ( x ) con l'algebra di base. Nel commento ho scritto che g dovrebbe essere y = g ( x ) = F - 1 ( F 1 / α ( x ) ) $F$$y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

Prendiamo un caso speciale, colleghiamo le cose e vediamo come funziona. Sia una distribuzione Exp (1), con CDF F ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , e CDF inverso F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . È facile collegare tutto per trovare g ; dopo che abbiamo finito otteniamo y = g ( x ) = $X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ Quindi, in sintesi, la mia affermazione è che se X ∼ E x p ( 1 ) e se definiamo Y = - ln ( 1 - ( 1 - e - X ) 1 / α ) , quindi Y avrà un CDF che assomiglia a F Y ( y ) = $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ Possiamo dimostrarlo direttamente (guardaP(Y≤y)e usa l'algebra per ottenere l'espressione, nel prossimo all'ultimo passo abbiamo bisogno della Trasformazione Integrale di Probabilità). Proprio nel caso (spesso ripetuto) che sono pazzo, ho eseguito alcune simulazioni per ricontrollare che funzioni, ... e lo fa. Vedi sotto. Per semplificare il codice ho usato due fatti: Se  X ∼ F  allora  U = F ( X ) ∼ U n i f ( 0 , 1 $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ $P(Y \leq y)$ $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

Segue la trama dei risultati della simulazione.

Il codice R utilizzato per generare la trama (meno le etichette) è

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

La vestibilità sembra abbastanza buona, penso? Forse non sono pazzo (questa volta)?

Prova senza parole

La curva blu inferiore è $F$, la curva rossa superiore è $F^\alpha$ (digitando il caso $\alpha \lt 1$) e le frecce mostrano come procedere $z$ per $x = g(z)$.

Q1) Sì. È anche utile per generare variabili ordinate stocasticamente; puoi vederlo dalla bella foto di @ whuber :).$\alpha>1$ scambia l'ordine stocastico.

Che si tratti di un documento PDF valido è solo una questione di verifica delle condizioni richieste: $F_z(z)^\alpha$deve essere cadlag , non diminuire e limitarsi a$1$ all'infinito e $0$ all'infinito negativo. $F_z$ ha queste proprietà, quindi sono tutte facili da mostrare.

Q2) Sembra che sarebbe piuttosto difficile analiticamente, a meno che $F_Z$ è speciale