Osservazione della distribuzione inclinata a sinistra rispetto a quella simmetrica

Questo è piuttosto difficile per me da descrivere, ma cercherò di rendere comprensibile il mio problema. Quindi prima devi sapere che finora ho fatto una regressione lineare molto semplice. Prima di stimare il coefficiente, ho osservato la distribuzione della mia . È pesantemente inclinato. Dopo aver stimato il modello, ero abbastanza sicuro di osservare un residuo distorto a sinistra in un diagramma QQ come wel, ma assolutamente no. Quale potrebbe essere la ragione di questa soluzione? Dov'è l'errore? O ha la distribuzione nulla a che fare con la distribuzione del termine di errore?$y$$y$

Per rispondere alla tua domanda, facciamo un esempio molto semplice. Il modello di regressione semplice è dato da , dove . Supponiamo ora che sia dicotomico. Se non è uguale a zero, la distribuzione di non sarà normale, ma in realtà una combinazione di due distribuzioni normali, una con media e una con media .ϵ i ∼ N ( 0 , σ 2 ) x i β 1 y i β 0 β 0 + β $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$$\epsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$$x_i$$\beta_1$$y_i$$\beta_0$$\beta_0 + \beta_1$

Se è abbastanza grande e è abbastanza piccolo, un istogramma di apparirà bimodale. Tuttavia, si può anche ottenere un istogramma di che assomiglia a una "singola" distribuzione distorta. Ecco un esempio (usando R):σ 2 y i y $\beta_1$$\sigma^2$$y_i$$y_i$

xi <- rbinom(10000, 1, .2)
yi <- 0 + 3 * xi + rnorm(10000, .7)
hist(yi, breaks=20)
qqnorm(yi); qqline(yi)

Non è importante la distribuzione di , ma la distribuzione dei termini di errore.$y_i$

res <- lm(yi ~ xi)
hist(resid(res), breaks=20)
qqnorm(resid(res)); qqline(resid(res))

E questo sembra perfettamente normale - non solo in senso figurato =)

Con riferimento all'ottima risposta di @Wolfgang, ecco i grafici del suo codice R: