Stimatore non distorto con varianza minima per

Consenti a essere un campione casuale di una distribuzione per . Vale a dire, $X_1, ...,X_n$ $Geometric(\theta)$ $0<\theta<1$

p_{θ} (x) = θ (1 - θ)^{x - 1} I_{{1, 2, . . .}} (x)

$p_{\theta}(x)=\theta(1-\theta)^{x-1} I_{\{1,2,...\}}(x)$

Trova lo stimatore imparziale con varianza minima per $g(\theta)=\frac{1}{\theta}$

Il mio tentativo:

Poiché la distribuzione geometrica proviene dalla famiglia esponenziale, la statistica è completa e sufficiente per . Inoltre, se è uno stimatore per , è imparziale. Pertanto, secondo il teorema di Rao-Blackwell e il teorema di Lehmann-Scheffé, è lo stimatore che stiamo cercando.

\sum X_{i}

$\sum X_i$

θ

$\theta$

T (X) = X_{1}

$T(X)=X_1$

g (θ)

$g(\theta)$

W (X) = E [X_{1} | \sum X_{i}]

$W(X) = E[X_1|\sum X_i]$

Abbiamo il seguente:

$W(X) = \sum_{i=1}^t i\, P(X_1=i|\sum X_i =t) = \sum_{i=1}^t i\, \frac{P(\sum_{i \geq 2} X_i =t-i)P(X_1=i)}{P(\sum_{i \geq 1}X_i =t)}$

Poiché le variabili sono geometriche, le distribuzioni delle somme sono entrambi binomi negativi. Ma sto riscontrando problemi per semplificare i coefficienti binomiali e dare una risposta finale con una forma migliore, se possibile. Sarei felice se potessi ottenere aiuto.

Grazie!

Modifica: Non credo che voi capiate il mio dubbio: penso di aver fatto tutti i passi corretti, forse ho dimenticato solo qualche funzione dell'indicatore. Ecco cosa ho fatto:

. . . = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2}) θ^{n - i} (1 - θ)^{t - i - n + 1} θ (1 - θ)^{i - 1}}{(\binom{t - 1}{n - 1}) θ^{n} (1 - θ)^{t - n}} = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2})}{(\binom{t - 1}{n - 1})}

$...=\sum_{i=1}^ti\frac{\binom{t-i-1}{n-2}\theta^{n-i}(1-\theta)^{t-i-n+1} \theta(1-\theta)^{i-1}}{\binom{t-1}{n-1}\theta^n(1-\theta)^{t-n}}=\sum_{i=1}^t i \frac{\binom{t-i-1}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}}$

Come ho già detto, ho problemi a semplificare questo e con l'indice somatorio

— Giiovanna
fonte

Infatti per una geometrica variate, , e il teorema di Rao-Blackwell implica che è lo stimatore imparziale con varianza minima unica. Ma invece di provare a calcolare direttamente questa aspettativa condizionale, si potrebbe notare che quindi che Nota, per inciso, che, poiché ${\cal G}(\theta)$ $X$

E_{θ} [X] = 1 / θ = g (θ)

$\mathbb{E}_\theta[X]=1/\theta=g(\theta)$

\hat{θ} (T) = E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\hat{\theta}(T)=\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \dots = E_{θ} [X_{n} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\ldots=\mathbb{E}_\theta\left[X_n\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E_{θ} [X_{i} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{T}{n}

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}_\theta\left[X_i\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{T}{n}$

\sum_{j \geq 2} X_{j}

$\sum_{j\ge 2} X_j$ è un binomio negativo quindi la somma finale dovrebbe be

N e g (n - 1, θ)

$\cal{N}eg(n-1,\theta)$

P (\sum_{j \geq 2} X_{j} = m) = (\binom{m - 1}{n - 2}) θ^{n - 1} (1 - θ)^{m - n + 1} I_{m > n - 1}

$\mathbb{P}\left(\sum_{j\ge 2} X_j=m\right)={m-1\choose n-2}\theta^{n-1}(1-\theta)^{m-n+1}\mathbb{I}_{m>n-1}$

\sum_{i = 1}^{t - n + 1} i (\binom{t - i - 1}{n - 2}) / (\binom{t - 1}{n - 1})

$\sum_{i=1}^{t-n+1} i {\binom{t-i-1}{n-2}}\bigg/{\binom{t-1}{n-1}}$

— Xi'an
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