Se mai una statistica mediana è mai una statistica sufficiente?

Mi sono imbattuto in un'osservazione su The Chemical Statistician secondo cui una mediana campione potrebbe spesso essere una scelta per una statistica sufficiente ma, oltre all'ovvio caso di una o due osservazioni in cui è uguale alla media campionaria, non riesco a pensare a un'altra non banale caso in cui la mediana del campione è sufficiente.

Nel caso in cui il supporto della distribuzione non dipenda dal parametro sconosciuto θ, possiamo invocare il teorema (Fréchet-Darmois-) Pitman-Koopman , ovvero che la densità delle osservazioni è necessariamente della forma esponenziale della famiglia, per concludere che, poiché la statistica naturale sufficiente è anche minima sufficiente, quindi la mediana dovrebbe essere una funzione di , che è impossibile: modificare un estremo nelle osservazioni , , modifica ma non modifica la mediana.S = n ∑ i = 1 T ( x i ) S x 1 , … , x n n > 2

$$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$$ $$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$$ $S$$x_1,\ldots,x_n$$n>2$$S$

Nel caso alternativo in cui il supporto della distribuzione dipende dal parametro sconosciuto θ, possiamo considerare il caso in cui dove l'insieme indicizzato da θ è il supporto di . In tal caso, il teorema di fattorizzazione implica che è una funzione 0-1 della mediana di esempio Aggiunta di un'ulteriore osservazione cui valore è tale da non modificare la mediana del campione, quindi porta a una contraddizione poiché potrebbe trovarsi all'interno o all'esterno del set di supporto, mentre A θ f n ∏ i = 1 I A θ ( x i ) n ∏ i = 1 I A θ ( x i ) = I B n θ ( med ( x 1 : n

$$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$$ $A_\theta$$f$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$$ $x_{n+1}$ $$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$$