Mean = median implica che una distribuzione unimodale è simmetrica?

Per una distribuzione unimodale, se media = mediana, allora è sufficiente dire che la distribuzione è simmetrica?

Wikipedia dice in relazione tra media e mediana:

"Se la distribuzione è simmetrica, allora la media è uguale alla mediana e la distribuzione avrà zero asimmetria. Se, inoltre, la distribuzione è unimodale, allora la modalità media = mediana =. Questo è il caso del lancio di una moneta o del serie 1, 2, 3, 4, ... Si noti, tuttavia, che il contrario non è vero in generale, vale a dire zero asimmetria non implica che la media sia uguale alla mediana. "

Tuttavia, non è molto semplice (per me) raccogliere le informazioni di cui ho bisogno. Qualsiasi aiuto per favore.

Ecco un piccolo controesempio non simmetrico: -3, -2, 0, 0, 1, 4 non è modale con mode = median = mean = 0.

Modifica: un esempio ancora più piccolo è -2, -1, 0, 0, 3.

Se vuoi immaginare una variabile casuale piuttosto che un campione, prendi il supporto come {-2, -1, 0, 3} con la funzione di massa di probabilità 0.2 su tutti loro, tranne per 0 dove è 0.4.

Questo è iniziato come un commento ma è cresciuto troppo a lungo; Ho deciso di trasformarlo in più di una risposta.

La risposta eccellente di Alexis affronta la domanda immediata (in breve: I. che logicamente non significa ; e ii. L'istruzione inversa è in realtà falsa in generale), e Silverfish fornisce controesempi.${A\implies B}$$B\implies A$

Vorrei affrontare alcuni problemi aggiuntivi e indicare alcune risposte esaustive già qui che sono in qualche modo correlate.

1. La dichiarazione sulla pagina di Wikipedia che citi non è neanche vera. Considera, ad esempio, la distribuzione di Cauchy, che è certamente simmetrica rispetto alla sua mediana, ma che non ha una media. La dichiarazione ha bisogno di un qualificatore come "purché esistano la media e l'asimmetria". Anche se lo riduciamo alla frase più debole nella prima metà della prima frase, ha ancora bisogno di "purché la media esista".

2. La tua domanda fonde in parte la simmetria con zero asimmetria (suppongo che tu intenda l'asimmetria del terzo momento, ma una discussione simile potrebbe essere scritta per altre misure di asimmetria). Avere 0 asimmetria non implica simmetria. La parte successiva della tua citazione e la sezione di Wikipedia citata da Alexis menzionano questo, anche se la spiegazione fornita nella seconda citazione potrebbe usare alcune modifiche.

Questa risposta mostra che la relazione tra l'asimmetria del terzo momento e la direzione della relazione tra media e mediana è debole (l'asimmetria del terzo momento e l'asimmetria del secondo Pearson non devono corrispondere).

Il punto 1. su questa risposta fornisce un controesempio discreto, simile ma diverso da quello fornito da Silverfish.

Modifica: ho finalmente scoperto l'esempio unimodale che stavo effettivamente cercando prima.

In questa risposta cito la seguente famiglia:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

Prendendo due membri specifici (ad esempio le densità blu e verde nell'esempio specifico in corrispondenza di quella risposta collegata, che hanno rispettivamente e ) e capovolgendo uno sulla x- asse e prendendo una miscela 50-50 dei due, otterremmo una densità asimmetrica unimodale con tutti i momenti dispari zero:$\alpha=0$$\alpha=\frac{_1}{^2}$

(le linee grigie mostrano la densità del blu ruotata attorno all'asse x per rendere semplice l'asimmetria)

Whuber fa un altro esempio qui con zero asimmetria che è continuo, unimodale e asimmetrico. Ho riprodotto il suo diagramma:

che mostra l'esempio e lo stesso capovolto sulla media (per mostrare chiaramente l'asimmetria) ma dovresti andare a leggere l'originale, che contiene molte informazioni utili.

[La risposta di Whuber qui fornisce un'altra famiglia asimmetrica continua di distribuzioni con tutti gli stessi momenti. Fare lo stesso trucco "scegli due, capovolgi uno e prendi una miscela 50-50" ha lo stesso risultato di asimmetrico con tutti i momenti dispari zero, ma penso che qui non dia risultati unimodali (anche se forse ci sono alcuni esempi). ]

La risposta qui discute la relazione tra media, mediana e modalità.

Questa risposta discute i test di ipotesi di simmetria.

No.

Se, inoltre, la distribuzione è unimodale, allora la modalità media = mediana =.

Allo stesso modo che "Se l'animale bambino è un pollo, la sua origine è un uovo" non implica che "Se l'origine è un uovo, l'animale bambino è un pollo".

Dallo stesso articolo di Wikipedia:

Nei casi in cui una coda è lunga ma l'altra è grassa, l'asimmetria non obbedisce a una semplice regola. Ad esempio, un valore zero indica che le code su entrambi i lati della media si bilanciano, il che è il caso sia di una distribuzione simmetrica, sia di distribuzioni asimmetriche in cui le asimmetrie si uniformano, come una coda lunga ma sottile, e il l'altro è basso ma grasso.

Esempi interessanti e di facile comprensione provengono dalla distribuzione binomiale.

$\times$$=$

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

Il codice di stato per questo display era mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'e presumibilmente è altrettanto semplice o più semplice in qualsiasi software statistico degno di nota.

Per quanto riguarda la psicologia piuttosto che la logica, questo esempio non può essere convinto in modo convincente come patologico (come in altri problemi si potrebbero scartare le distribuzioni per le quali non esistono nemmeno certi momenti) o come un esempio bizzarro o banale inventato allo scopo (come ad esempio i dati inventati descritti da @Silverfish o 0, 0, 1, 1, 1, 3).