Deviazione assoluta mediana (MAD) e SD di diverse distribuzioni

Per i dati normalmente distribuiti, la deviazione standard e la deviazione assoluta mediana sono correlate da: $\sigma$ $\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

dove è la funzione di distribuzione cumulativa per la distribuzione normale standard. $\Phi()$

Esiste una relazione simile per altre distribuzioni?

distributions standard-deviation mad

— vic
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Quale distribuzione avevi in mente?

— gung - Ripristina Monica

Nessuna distribuzione specifica. Mi sono appena imbattuto in alcuni strani set di dati e vorrei sapere se esiste un possibile intervallo di valori della costante ...

— vic

Sì, per molte distribuzioni, ma i numeri sono diversi.

— Glen_b

Se vuoi conoscere il possibile intervallo di valori che potrebbero convertire MAD in SD, perché non farlo nella domanda?

— Glen_b

Spiega cos'è la "MAD": ha più di un significato convenzionale! (Ed entrambi danno gli stessi valori per le distribuzioni normali.)

— whuber

Risposte:

Per rispondere alla domanda nei commenti:

Vorrei sapere se esiste un intervallo possibile di valori della costante

(Suppongo che la domanda sia intesa sulla deviazione mediana dalla mediana.)

Il rapporto tra SD e MAD può essere reso arbitrariamente grande.

Prendi un po 'di distribuzione con un dato rapporto tra SD e MAD. Tenere mezzo della distribuzione fissa (che significa MAD è invariato). Sposta ulteriormente le code. SD aumenta. Continua a spostarlo oltre ogni limite finito. $50\%+\epsilon$
Il rapporto tra SD e MAD può essere facilmente reso vicino a come desiderato (ad esempio) ponendoaea 0. $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $25\%+\epsilon$ $\pm 1$ $50\%-2\epsilon$

Penso che sarebbe piccolo come va.

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— Glen_b -Restate Monica
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La tua interpretazione di "MAD" è la deviazione assoluta mediana dalla media o dalla mediana (che viene spesso usata ed è esplicitamente l'interpretazione nella risposta di Xi'an)?

— whuber

@whuber - è importante essere chiari, grazie. Lo sto interpretando come dalla mediana, come ha fatto Xi'an. (Ho fatto un errore da qualche parte?)

— Glen_b

Non ho visto alcun errore - non era chiaro né nella domanda né nella tua risposta quale interpretazione fosse intesa (anche se con qualche analisi un lettore potrebbe capire quale stai usando). Ricordo di aver visto una domanda sull'interpretazione della deviazione dalla media solo poche settimane fa.

— whuber

$f(x;\theta)$ $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ $G_\theta$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ $F_\theta$ $X$

$\theta=\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$
$\theta=(\mu,\sigma)$ $\mu$ $f (x; θ) = g ({x - μ} / σ) / σ$ $f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$ $\mu$ $G_\theta$ $\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$

— Xi'an
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