Come trovare

Come posso risolvere questo? Ho bisogno di equazioni intermedie. Forse la risposta è $-tf(x)$ .

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ è la funzione di densità di probabilità.

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

fonte: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

Prova delle equazioni intermedie di seguito:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Hiroaki Machida
fonte

Intendi ? ForseOppure intendi ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Henry,

Usa il teorema fondamentale del calcolo

— Henry,

Considera una primitiva di , quindi è facile da derivare.

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Stéphane Laurent,

Aggiungi il self-studytag e leggi il suo tag wiki .

— Glen_b

Se stai studiando per un esame, darti la soluzione completa non è la cosa da fare. Le domande di studio autonomo hanno lo scopo di portare la persona a porre la domanda per riuscire a risolvere il problema da sola.

— Xi'an,

Risposte:

Per definizione, la derivata ( se esiste ) è il limite del quoziente di differenza

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

come . $h\to 0$

Supponendo che sia continuo entro un intervallo per sufficientemente piccolo , anche sarà continuo durante questo intervallo. Poi il Teorema di Lagrange afferma v'è una certa tra e per i quali $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Come , necessariamente , e la continuità di vicino a implica quindi che il lato sinistro ha un limite uguale a . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(E 'bello vedere che questa analisi non richiede ragionamento circa l'esistenza di quella originale improprio integrale .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

Tuttavia, anche quando una distribuzione ha una densità , tale densità non deve essere continua. Nei punti di discontinuità, il quoziente di differenza avrà diversi limiti sinistro e destro: la derivata non esiste lì. $f$

Non è una questione che può essere liquidata come una arcana "patologia" matematica che i praticanti possono ignorare. I PDF di molte distribuzioni comuni e utili presentano punti di discontinuità. Ad esempio, l'uniforme distribuzione ha PDF discontinua in e ; una distribuzione Gamma ha un PDF discontinuo a quando (che include la distribuzione esponenziale onnipresente e alcune delle distribuzioni ); e così via. Pertanto, è importante non affermare, senza attente qualifiche, che la risposta è semplicemente : sarebbe un errore. $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— whuber
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Un addendum molto piccolo: ci sono casi in cui l'integrale è differenziabile anche quando non è continuo. Sia per e per e per . Quindi vicino a 0, per e 0 per , che è perfettamente differenziabile in .

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— Alex R.

@Alex Vicino a , , non 2/2 . Considera il teorema fondamentale del calcolo.

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

Dispiace per la confusione! Definisco .

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Alex R.

@Alex Il tuo integrand è continuo vicino allo zero, quindi non riesco a vedere che tipo di esempio stai presentando o cosa mostra.

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

Grande derivazione (+1) - potrebbe non valere nulla che questo risultato sia un caso della regola integrale di Leibniz .

— Ben - Ripristina Monica il

Risolto ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Grazie a tutti!!!

— Hiroaki Machida
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Cos'è la funzione ? Perché la derivata di è 0?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— Vladislavs Dovgalecs,