quando è variabile continua

So che per la variabile continua . $P[X=x]=0$

Ma non riesco a visualizzare che se , c'è un numero infinito di possibili 's. E anche perché le loro probabilità diventano infinitamente piccole? $P[X=x]=0$ $x$

— tempo
fonte

possibile duplicato della probabilità condizionale della variabile continua

— Xi'an

Ci sono già due voti per chiudere questa domanda come duplicata. Non sono d'accordo Questo è un argomento piuttosto semplice, uno di quelli che probabilmente riappariranno in futuro, quindi sarebbe positivo se avesse una risposta diretta e di alta qualità, in modo da poterci riferire in futuro. Il link fornito da @ Xi'an può essere minacciato come duplicato ma è anche abbastanza specifico e difficile da trovare tramite la ricerca. Il collegamento inoltre non fornisce una risposta esaustiva, mentre questa minaccia sembra convergere in tale. Penso che dovrebbe essere lasciato aperto come riferimento futuro.

— Tim

Potrebbe essere utile considerare l'inverso di questa situazione. Lasciate BE qualsiasi variabile casuale e lascia essere qualsiasi numero reale positivo. Può esserci solo un numero finito di per il quale , altrimenti, sommando tutte queste probabilità su eventi disgiunti, si potrebbe concludere che la probabilità totale è almeno

, che alla fine supera

. (Questa è la proprietà di Archimede dei numeri reali.) Questo ragionamento utilizza solo tre assiomi : si aggiungono le probabilità di eventi disgiunti, la probabilità totale è

e l'assioma di Archimede.

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

— whuber

@Tim Grazie, ma ho pubblicato questo pensiero come un commento, piuttosto che una risposta, perché è incompleto: non ho trovato un modo elementare per spiegare cosa succede al limite come

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ . Sembra richiedere una certa conoscenza delle cardinalità di insiemi infiniti.

— whuber

@ Xi'an Sono d'accordo, ma il filo che hai proposto non è un duplicato sufficientemente vicino. Questa è una cosa difficile da cercare. Sei forse a conoscenza di altri thread che duplicano questa domanda?

— whuber

Risposte:

Le probabilità sono modelli per le frequenze relative delle osservazioni. Se si osserva che un evento è verificato volte in prove, la sua frequenza relativa è e si ritiene generalmente che il valore numerico del sopra rapporto è una stretta approssimazione a quando è "grande" dove ciò che si intende per "grande" è meglio lasciare all'immaginazione (e alla credulità) del lettore. $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

Ora, è stato osservato che se il nostro modello di è quello di una variabile casuale continua, i campioni di sono numeri distinti. Pertanto, la frequenza relativa di un numero specifico (o, più pedanticamente, l'evento ) è se uno degli ha valore , oppure se tutti gli sono diversi da . Se un lettore più scettico raccoglie altri campioni, la frequenza relativa dell'evento è $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ o continua a godere del valore . Pertanto, si è tentati di indovinare che a dovrebbe essere assegnato il valore poiché questa è una buona approssimazione alla frequenza relativa osservata. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Nota: la spiegazione sopra è (di solito) soddisfacente per gli ingegneri e altri interessati all'applicazione della probabilità e delle statistiche (vale a dire coloro che credono che gli assiomi della probabilità siano stati scelti in modo da rendere la teoria un buon modello di realtà), ma totalmente insoddisfacente a molti altri. È anche possibile affrontare la tua domanda da una prospettiva puramente matematica o statistica e dimostrare che deve avere valore ogni volta che è una variabile casuale continua tramite deduzioni logiche dagli assiomi della probabilità e senza alcun riferimento frequenza relativa o osservazioni fisiche ecc. $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— Dilip Sarwate
fonte

+1 "Nota: la spiegazione sopra è ... soddisfacente per ... coloro che credono che gli assiomi della probabilità siano stati scelti in modo da rendere la teoria un buon modello di realtà), ma totalmente insoddisfacente ...", nel fraseggio preferito di Internet, lol.

— gung - Ripristina Monica

Non capisco cosa vuoi dire con è stato osservato che se è continua, allora ... $X$ . Come possiamo osservarlo?

— Stéphane Laurent,

@ StéphaneLaurent Quella frase è un po 'complicata, quindi vale la pena rileggerla. Spogliato di alcune osservazioni tra parentesi, dice "è stato osservato che ... i campioni ... sono numeri distinti". In altre parole, se si assume che ha una distribuzione continua , allora (quasi sicuramente) ci saranno duplicati in qualsiasi campione iid finito di . Ciò può essere provato matematicamente: non è una semplice osservazione.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent Penso che le osservazioni di Dilip siano state fatte con uno spirito diverso da quello. Questa risposta non è uno sforzo per fornire una dimostrazione matematicamente rigorosa, ma per fornire un po 'di intuizione e motivazione per un fatto che confonde l'OP. Sono incuriosito da questo approccio perché ha un tale potenziale per colmare il divario tra la teoria della probabilità discreta tradizionalmente insegnata ai principianti e la più ricca teoria generale della probabilità basata sulla teoria della misura.

— whuber

@whuber Capisco lo spirito, ma a prima vista non ero convinto che la proprietà senza legami sia più intuitiva della proprietà a probabilità zero. Per è davvero la stessa cosa: " " .

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Stéphane Laurent,

Sia lo spazio di probabilità sottostante. Diciamo che una funzione misurabile è una variabile casuale assolutamente continua se la probabilità misura su definita da , noto come distribuzione di , è dominato dalla misura di Lebesgue , nel senso che per ogni set di Borel , se , quindi . In questo caso, il teorema di Radon-Nikodym ci dice che esiste un misurabile $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , definito fino a quasi ovunque equivalenza, tale che . Consenti a essere un sottoinsieme numerabile di . Dato che è additivo numerabile, . Ma per ogni . A causa della proprietà Archimedea dei numeri reali, poiché , la disuguaglianza vale per ogni se e solo se $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$ , che implica che . Dalla presunta continuità assoluta di segue che .

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— zen
fonte

La variabile casuale continua non deve essere assolutamente continua (potrebbe non avere densità).

— Zhanxiong

Sciocchezze. "Variabile casuale continua" è un nome informale per "una variabile casuale che è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue". Quindi, Radon-Nikodym garantisce l'esistenza di una densità. Una variabile casuale con una distribuzione singolare (ad esempio Cantor) è una cosa diversa. Stai fuorviando i potenziali studenti con il tuo commento fasullo.

— Zen,

Quando hai criticato qualcuno, ti preghiamo di mostrare la citazione a cui ti riferivi. Quale libro di testo di probabilità diceva che "Variabile casuale continua" è un nome informale per "una variabile casuale che è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue" ? Inoltre, questo problema può essere risolto senza che abbia una densità, vedere la mia prova di seguito.

X

$X$

— Zhanxiong,

Wikipedia non è d'accordo con te, @Solitary: " Una distribuzione di probabilità continua è una distribuzione di probabilità che ha una funzione di densità di probabilità. I matematici chiamano anche tale distribuzione assolutamente continua [...]".

— ameba dice di reintegrare Monica il

$X$ è una variabile casuale continua significa che la sua funzione di distribuzione è continua . Questa è l'unica condizione che abbiamo ma da cui possiamo derivare che . $F$ $P(X = x) = 0$

In realtà, per continuità di , abbiamo per ogni , quindi: $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Zhanxiong
fonte

Se la distribuzione di un rv è Cantor, la sua funzione di distribuzione è continua, ma è una variabile casuale singolare; non è una variabile casuale continua.

X

$X$

X

$X$

— Zen,

Amico mio, questo in realtà può essere un controesempio alla tua risposta, non alla mia. Dall'esistenza di tale Singolare continuo rv, è necessario distinguere assoluto continuo rv e singolare continuo rv, sebbene le loro funzioni di distribuzione siano tutte continue. Equalizzare il camper continuo e il camper continuo assoluto è ambiguo.

— Zhanxiong,

Non lo è, ma non sentirai, amico mio.

— Zen,

A proposito, in realtà stai "dimostrando" che se per ogni , allora per ogni .

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

— Zen,