Se

Ecco un problema che è emerso in un esame semestrale nella nostra università qualche anno fa che sto lottando per risolvere.

Se sono variabili casuali indipendenti con densità e $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ rispettivamente quindi mostrano che $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ segue. $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

Ho usato il metodo giacobino per ottenere quella densità di è il seguente: $Y=\sqrt{X_1X_2}$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

In questo momento mi sono perso. Ora, nel documento principale, ho scoperto che era stato fornito un suggerimento. Ho provato a usare il suggerimento ma non sono riuscito a ottenere le espressioni desiderate. Il suggerimento è letteralmente il seguente:

Suggerimento: derivare una formula per la densità di in termini di densità date diee prova a usare un cambio di variabile con $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ . $z=\dfrac{y^2}{x}$

Quindi, a questo punto, provo a sfruttare questo suggerimento considerando questo cambiamento di variabile. Quindi ottengo, che dopo la semplificazione risulta essere (scrivendoper)

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Non so davvero come procedere. Non sono nemmeno sicuro di interpretare correttamente il suggerimento. Comunque, ecco il resto del suggerimento:

Osservalo usando la modifica della variabile , la densità richiesta può essere espressa in due modi per ottenere calcolando la media di $z=\dfrac{y^2}{x}$ Ora dividi l'intervallo di integrazione inee scrivi
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ e procedere con $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ . $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Beh, onestamente, non riesco a capire come si possano usare questi suggerimenti: sembra che non vada da nessuna parte. L'aiuto è apprezzato. Grazie in anticipo.

— Landon Carter
fonte

Ho visto un problema simile prima del quale avevo compilato alcuni riferimenti. Vedi arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/…

— Sid

@Sid Mi dispiace ma non sono riuscito a trovare questo problema in quei riferimenti o qualcosa di simile. Potresti gentilmente indicare i luoghi? Grazie!!

— Landon Carter,

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

Non penso che siano uguali. Facendo il cambio di variabile che menzioni nella mia formula, ottengo qualcosa di leggermente più semplice di quello che hai nel primo integrale del tuo PO.

— StijnDeVuyst,

$q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

$q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
fonte

Non credo che si possa dire che l'uguaglianza dei momenti implica l'uguaglianza della distribuzione. Ci sono esempi in cui questo potrebbe non essere valido.

— Landon Carter,

StijnDeVuyst, scusa se questa non è una risposta accettabile. Ho un esempio in cui i momenti sono uguali ma le distribuzioni non sono le stesse. L'esempio è un po 'complicato però. Purtroppo non ho l'esempio con me adesso; è arrivato anche in un semestre. Ma presto posterò l'esempio in questa discussione se sei interessato. Comunque ho risolto il problema da solo. Grazie per l'aiuto.

— Landon Carter,

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$ i membri di questa famiglia di distribuzioni hanno gli stessi momenti (di tutti gli ordini). Nota che il lognormale standard è un membro di questa famiglia e che i suoi momenti hanno un bel modulo chiuso.

— cardinale il

Vi sono, tuttavia, ulteriori condizioni (ad es. Di Carleman) nei momenti che garantiranno l'unicità della distribuzione. Questo è noto come il problema del momento Hamburger .

— cardinale il

Citazione da web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… "... È un'algebra lineare elementare verificare che una misura positiva con supporto finito sia determinata unicamente dai suoi momenti ..." Condizione di Carleman per M-determinacy per le distribuzioni Beta nel PO. @cardinal e yedaynara sono entrambi corretti sul fatto che ero troppo veloce per assumerlo. Ma a quanto pare il supporto limitato è ciò che salva la giornata.

— StijnDeVuyst,