Come generare matrici ortogonali uniformemente casuali di determinante positivo?

Probabilmente ho una domanda stupida su quale, devo confessare, sono confuso. Immagina la generazione ripetuta di una matrice ortogonale (ortogonale) casuale uniformemente distribuita di qualche dimensione . A volte la matrice generata ha il determinante e talvolta ha il determinante . (Esistono solo due valori possibili. Dal punto di vista della rotazione ortogonale significa che c'è anche un'ulteriore riflessione oltre alla rotazione.)$p$$1$$-1$$\det=-1$

Possiamo cambiare il segno di $\det$ di una matrice ortogonale da meno a più cambiando il segno di una qualsiasi colonna (o, più in generale, qualsiasi numero dispari di) di essa.

La mia domanda è: dato che generiamo tali matrici casuali ripetutamente, introdurremo alcuni pregiudizi nella loro natura casuale uniforme se ogni volta scegliamo di ripristinare il segno di una colonna specifica (diciamo, sempre 1 o sempre ultimo)? O dovremmo avere di scegliere la colonna in modo casuale al fine di mantenere le matrici rappresentano casuale collezione uniformemente distribuito?

La scelta della colonna non ha importanza: la distribuzione risultante sulle speciali matrici ortogonali, $SO(n)$ , è ancora uniforme.

Spiegherò questo usando un argomento che si estende, in modo ovvio, a molte domande correlate sulla generazione uniforme di elementi di gruppi. Ogni passaggio di questo argomento è banale, non richiede altro che un riferimento a definizioni adeguate o un semplice calcolo (come notare che la matrice è ortogonale e auto-inversa).$\mathbb{I}_1$

L'argomento è una generalizzazione di una situazione familiare. Si consideri il compito di elaborare positivi numeri reali secondo una distribuzione continua specificato . Questo può essere fatto attingendo qualsiasi numero reale da una distribuzione continua e negando il risultato, se necessario, per garantire un valore positivo (quasi sicuramente). Affinché questo processo abbia la distribuzione , deve avere la proprietà cheG F $F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

Il modo più semplice per ottenere questo risultato è quando è simmetrico intorno a modo che , che comporta : tutte le probabilità positive le densità sono semplicemente raddoppiate e tutti i risultati negativi sono eliminati. La relazione familiare tra la distribuzione semi-normale ( ) e la distribuzione normale ( ) è di questo tipo.0 G ( x ) - 1 / 2 = 1 / 2 - G ( - x $G$$0$$G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$F $F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$

Di seguito, il gruppo svolge il ruolo dei numeri reali diversi da zero (considerato come un gruppo moltiplicativo ) e il suo sottogruppo svolge il ruolo dei numeri reali positivi . La misura Haar è invariante sotto negazione, quindi quando viene "piegata" da a , la distribuzione dei valori positivi non cambia . (Questa misura, sfortunatamente, non può essere normalizzata in una misura di probabilità, ma è l'unico modo in cui l'analogia si rompe.)S O ( n ) R + d x / x R - { 0 } R $O(n)$$SO(n)$$\mathbb{R}_{+}$$dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$

Negare una colonna specifica di una matrice ortogonale (quando il suo determinante è negativo) è l'analogo di negare un numero reale negativo per piegarlo nel sottogruppo positivo. Più in generale, puoi scegliere in anticipo qualsiasi matrice ortogonale del determinante negativo e usarla al posto di : i risultati sarebbero gli stessi.I$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$

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Sebbene la domanda sia formulata in termini di generazione di variabili casuali, in realtà chiede informazioni sulle distribuzioni di probabilità sui gruppi di matrici e . La connessione tra questi gruppi è descritta in termini di matrice ortogonaleS O ( n , R ) = S O ( n $O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

perché negare la prima colonna di una matrice ortogonale significa moltiplicare a destra per . Si noti che e è l'unione disgiuntaX I 1 S O ( n ) ⊂ O ( n ) O ( n $\mathbb X$$\mathbb{X}$$\mathbb{I}_1$$SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

Dato uno spazio di probabilità definito su , il processo descritto nella domanda definisce una mappaO ( n $(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

IMPOSTANDO

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

quando e$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

per .$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

La domanda è preoccupata per la generazione di elementi casuali in ottenendo elementi casuali : cioè "spingendoli in avanti" via per produrre . Il pushforward crea uno spazio di probabilità conω ∈ O ( n ) f f ∗ ω = f ( ω ) ∈ S O ( n ) ( S O ( n ) , S ′ , P ′$SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

e

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

per tutti .$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

Supponendo che la moltiplicazione corretta per preservi la misura e che in ogni caso , ne immediatamente che per tutti , E∩$\mathbb{I}_1$E∈ S$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

In particolare, quando è invariante sotto moltiplicazione a destra in (che è ciò che significa "uniforme"), il fatto ovvio che e il suo inverso (che è uguale a stesso) sono entrambi mezzi ortogonali delle precedenti affermazioni, dimostrando che anche è uniforme. Pertanto non è necessario selezionare una colonna casuale per negazione. O ( n ) I 1 I 1 P$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$