Si noti che l'espressione di varianza nella domanda è un'approssimazione. Hedges (1981) ha derivato la grande varianza campionaria di e approssimazione in un contesto generale (ad es. Esperimenti / studi multipli) e la mia risposta ha praticamente analizzato le derivazioni nel documento.d
Innanzitutto, i presupposti che utilizzeremo sono i seguenti:
Supponiamo di avere due gruppi di trattamento indipendenti, (trattamento) e C (controllo). Sia Y T i e Y C j i punteggi / risposte / qualunque cosa del soggetto i nel gruppo T e del soggetto j nel gruppo C , rispettivamente.TCYTioYCjioTjC
Partiamo dal presupposto che le risposte sono normalmente distribuite e i gruppi di trattamento e controllo condividono una varianza comune, vale a dire
YTioYCj∼ N( μT, σ2) ,i = 1 , … nT∼ N( μC, σ2) ,j = 1 , … nC
La dimensione dell'effetto che ci interessa stimare in ogni studio è . Lo stimatore della dimensione dell'effetto che useremo è
d= ˉ Y T- ˉ Y Cδ= μT- μCσ
doveS2kè la varianza del campione imparziale per il gruppok.
d= Y¯T- Y¯C( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2CnT+ nC- 2-------------√
S2KK
Consideriamo le proprietà di grandi campioni di . d
Innanzitutto, nota che:
e (essendo sciolto dalla mia notazione):
( n T - 1 ) S 2 T
Y¯T- Y¯C∼ N( μT- μC,σ2nT+ nCnTnC)
e
(nC-1)S 2 C( nT- 1 ) S2Tσ2( nT+ nC- 2 )= 1nT+ nC- 2( nT- 1 ) S2Tσ2∼ 1nT+ nC- 2χ2nT- 1(1)
( nC- 1 ) S2Cσ2( nT+ nC- 2 )= 1nT+ nC- 2( nC- 1 ) S2Cσ2∼ 1nT+ nC- 2χ2nC- 1(2)
1σ2( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2CnT+ nC- 2∼ 1nT+ nC- 2χ2nT+ nC- 2
d= Y¯T- Y¯C( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2CnT+ nC- 2-------------√= ( σnT+ nCnTnC-----√)- 1( Y¯T- Y¯C)( σnT+ nCnTnC-----√)- 1( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2CnT+ nC- 2-------------√= ( Y¯T- Y¯C) - ( μT- μC)σnT+ nCnTnC√+ μT- μCσnT+ nCnTnC√( nT+ nCnTnC-----√)- 1( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2Cσ2( nT+ nC- 2 )-------------√= nT+ nCnTnC-------√⎛⎝⎜θ + δnTnCnT+ nC-----√Vν--√⎞⎠⎟
θ ∼ N( 0 , 1 )V∼ χ2νν= nT+ nC- 2dnT+ nCnTnC-----√nT+nC- 2δnTnCnT+nC-----√
t
V a r (d) = ( nT+ nC- 2 )( nT+ nC- 4 )( nT+ nC)nTnC( 1 + δ2nTnCnT+ nC) - δ2B2(3)
b = Γ ( nT+ nC- 22)nT+ nC- 22-------√Γ ( nT+ nC- 32)≈ 1 - 34 ( nT+ nC- 2 ) - 1
δbd
Var(bd)=b2(nT+nC−2)(nT+nC−4)(nT+nC)nTnC(1+δ2nTnCnT+nC)−δ2
nT+nC−2tνp1+p22ν
Var(d)≈nT+nCnTnC⎛⎝⎜1+δ2(nTnCnT+nC)2(nT+nC−2)⎞⎠⎟=nT+nCnTnC+δ22(nT+nC−2)
δ