Varianza della statistica

La di Cohen è uno dei modi più comuni per misurare la dimensione di un effetto ( vedi Wikipedia ). Misura semplicemente la distanza tra due mezzi in termini di deviazione standard aggregata. Come possiamo derivare la formula matematica della stima della varianza di D di Cohen ? $d$$d$

Modifica di dicembre 2015: correlata a questa domanda è l'idea di calcolare gli intervalli di confidenza intorno a . Questo articolo afferma che$d$

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

dove è la somma delle due dimensioni del campione e n × è il prodotto delle due dimensioni del campione.$n_{+}$$n_{\times}$

Come viene derivata questa formula?

Si noti che l'espressione di varianza nella domanda è un'approssimazione. Hedges (1981) ha derivato la grande varianza campionaria di e approssimazione in un contesto generale (ad es. Esperimenti / studi multipli) e la mia risposta ha praticamente analizzato le derivazioni nel documento.$d$

Innanzitutto, i presupposti che utilizzeremo sono i seguenti:

Supponiamo di avere due gruppi di trattamento indipendenti, (trattamento) e C (controllo). Sia Y T i e Y C j i punteggi / risposte / qualunque cosa del soggetto i nel gruppo T e del soggetto j nel gruppo C , rispettivamente.$T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

Partiamo dal presupposto che le risposte sono normalmente distribuite e i gruppi di trattamento e controllo condividono una varianza comune, vale a dire

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

La dimensione dell'effetto che ci interessa stimare in ogni studio è . Lo stimatore della dimensione dell'effetto che useremo è d= ˉ Y T- ˉ Y$\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$ doveS2kè la varianza del campione imparziale per il gruppok.

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

Consideriamo le proprietà di grandi campioni di . $d$

Innanzitutto, nota che: e (essendo sciolto dalla mia notazione): ( n T - 1 ) S 2

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ e (nC-1)S 2 $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ $\theta \sim N(0,1)$$V \sim \chi^2_{\nu}$$\nu = n_T+n_C-2$$d$$\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$$n_T + n_C - 2$$\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$

$t$

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

$\delta$$b d$

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

$n_T+n_C-2$$t$$\nu$$p$$1 + \frac{p^2}{2\nu}$

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

$\delta$