Qual è la distribuzione di

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Ho quattro variabili indipendenti uniformemente distribuite $a,b,c,d$ , ciascuna in $[0,1]$ . Voglio calcolare la distribuzione di $(a-d)^2+4bc$ . Ho calcolato la distribuzione di $u_2=4bc$ in (quindi ), e di deve essere

f_{2} (u_{2}) = - \frac{1}{4} \ln \frac{u_{2}}{4}

$f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4}$

u_{2} \in (0, 4]

$u_2\in(0,4]$

u_{1} = (a - d)^{2}

$u_1=(a-d)^2$

f_{1} (u_{1}) = \frac{1 - \sqrt{u_{1}}}{\sqrt{u_{1}}} .

$f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.$ Ora, la distribuzione di una somma

u_{1} + u_{2}

$u_1+u_2$ è (

u_{1}, u_{2}

$u_1,\, u_2$ sono anche indipendenti)

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (x - y) f_{2} (y) d y = - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y,

$f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,$ perché

y \in (0, 4]

$y\in(0,4]$ . Qui deve essere

x > y

$x>y$ quindi l'integrale è uguale a

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = - \frac{1}{4} \int_{0}^{x} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y .

$f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.$ Ora lo inserisco in Mathematica e ottengo quel

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \frac{1}{4} [- x + x \ln \frac{x}{4} - 2 \sqrt{x} (- 2 + \ln x)] .

$f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right].$

Ho creato quattro set indipendenti $a,b,c,d$ costituiti da $10^6$ numeri ciascuno e ho disegnato un istogramma di $(a-d)^2+4bc$ :

inserisci qui la descrizione dell'immagine

e ha disegnato un diagramma di : $f_{u_1+u_2}(x)$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Generalmente, la trama è simile all'istogramma, ma nell'intervallo maggior parte è negativa (la radice è a 2.27034). E l'integrale della parte positiva è di . $(0,5)$ $\approx 0.77$

Dov'è l'errore? O dove mi manca qualcosa?

EDIT: ho ridimensionato l'istogramma per mostrare il PDF.

inserisci qui la descrizione dell'immagine

EDIT 2: Penso di sapere dov'è il problema nel mio ragionamento - nei limiti di integrazione. Poiché e , non posso semplicemente . La trama mostra la regione in cui devo integrarmi: $y\in (0,4]$ $x-y\in(0,1]$ $\int_0^x$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Questo significa che ho per (ecco perché parte della mia era corretta), in e in . Sfortunatamente, Mathematica non riesce a calcolare gli ultimi due integrali (beh, calcola il secondo, poiché c'è un'unità immaginaria nell'output che rovina tutto ... ). $\int_0^x$ $y\in(0,1]$ $f$ $\int_{x-1}^x$ $y\in(1,4]$ $\int_{x-1}^4$ $y\in (4,5]$

EDIT 3: sembra che Mathematica PUO calcolare gli ultimi tre integrali con il seguente codice:

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1}, Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4}, Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]

che dà una risposta corretta :)

— corey979
fonte

2

Mi piace che tu abbia provato a verificare la ragionevolezza della tua risposta mediante simulazione. Il tuo problema è che sai di aver fatto un errore, ma non riesci a capire bene dove. Hai considerato che puoi controllare ogni fase del tuo metodo per risolvere dove si trova l'errore? Ad esempio, l'errore risiede nel tuo ? Bene, puoi controllare il tuo PDF calcolato con risultati simulati proprio come hai fatto per la tua risposta finale. Idem per . Se e sono entrambi corretti, allora hai commesso l'errore combinandoli. Tale controllo passo-passo ti consente di individuare dove hai sbagliato!

f_{1} (u_{1})

$f_1(u_1)$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

— Pesce d'argento

Ho buttato via il mio primo tentativo e l'ho ricalcolato da zero. Credo che e siano corretti, anche se ho dovuto moltiplicare manualmente il mio iniziale per 2 per farlo normalizzare all'unità. Ma questo cambia solo l'altezza e non spiega perché ho negativo .

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f

$f$

— corey979,

Quando si generano tali istogrammi per confrontarli con le quantità algebriche calcolate, ridimensionare l'istogramma in modo che abbia una densità valida (e sovrapporli se è possibile). Fai un controllo simile per i tuoi f1 e f2 per assicurarti di avere quelli giusti; se hanno ragione (non ho ancora visto alcun buon motivo per sospettarli, ma è meglio ricontrollare), allora il problema deve essere più tardi.

— Glen_b

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Spesso aiuta a usare le funzioni di distribuzione cumulativa.

Primo,

F (x) = Pr ((a - d)^{2} \leq x) = Pr (| a - d | \leq \sqrt{x}) = 1 - (1 - \sqrt{x})^{2} = 2 \sqrt{x} - x .

$F(x) = \Pr((a-d)^2 \le x) = \Pr(|a-d| \le \sqrt{x}) = 1 - (1-\sqrt{x})^2 = 2\sqrt{x} - x.$

Il prossimo,

G (y) = Pr (4 b c \leq y) = Pr (b c \leq \frac{y}{4}) = \int_{0}^{y / 4} d t + \int_{y / 4}^{1} \frac{y d t}{4 t} = \frac{y}{4} (1 - \log (\frac{y}{4})) .

$G(y) = \Pr(4 b c \le y) = \Pr(b c \le \frac{y}{4}) = \int_0^{y/4} dt + \int_{y/4}^1\frac{y\,dt}{4t} = \frac{y}{4}\left(1 - \log\left(\frac{y}{4}\right)\right).$

Lascia che compreso tra il più piccolo ( ) e il più grande ( ) valori possibili di . Scrivendo con CDF e con PDF , dobbiamo calcolare $\delta$ $0$ $5$ $(a-d)^2 + 4 b c$ $x=(a-d)^2$ $F$ $y=4 b c$ $g = G^\prime$

H (δ) = Pr ((a - d)^{2} + 4 b c \leq δ) = Pr (x \leq δ - y) = \int_{0}^{4} F (δ - y) g (y) d y .

$H(\delta) = \Pr((a-d)^2 + 4 b c \le \delta) = \Pr(x\le \delta-y) = \int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy.$

Possiamo aspettarci che questo sia cattivo - il PDF di distribuzione uniforme è discontinuo e quindi dovrebbe produrre interruzioni nella definizione di - quindi è piuttosto sorprendente che Mathematica ottenga una forma chiusa (che non riprodurrò qui). Differenziarlo rispetto a fornisce la densità desiderata. È definito a tratti entro tre intervalli. In , $H$ $\delta$ $0 \lt \delta \lt 1$

H^{'} (δ) = h (δ) = \frac{1}{8} (8 \sqrt{δ} + δ (- (2 + \log (16))) + 2 (δ - 2 \sqrt{δ}) \log (δ)) .

$H^\prime(\delta) = h(\delta) = \frac{1}{8} \left(8 \sqrt{\delta }+\delta (-(2+\log (16)))+2 \left(\delta -2 \sqrt{\delta }\right) \log (\delta )\right).$

In , $1 \lt \delta \lt 4$

h (δ) = \frac{1}{4} (- (δ + 1) \log (δ - 1) + δ \log (δ) - 4 \sqrt{δ} \coth^{- 1} (\sqrt{δ}) + 3 + \log (4)) .

$h(\delta) = \frac{1}{4} \left(-(\delta +1) \log (\delta -1)+\delta \log (\delta )-4 \sqrt{\delta } \coth ^{-1}\left(\sqrt{\delta }\right)+3+\log (4)\right).$

E in , $4 \lt \delta \lt 5$

\begin{aligned} h (δ) = \\ \frac{1}{4} (δ - 4 \sqrt{δ - 4} + (δ + 1) \log (\frac{4}{δ - 1}) + 4 \sqrt{δ} \tanh^{- 1} (\frac{\sqrt{(δ - 4) δ} - \sqrt{δ}}{δ - \sqrt{δ - 4}}) - 1) . \end{aligned}

$\eqalign{ &h(\delta) = \\ &\frac{1}{4}\left(\delta -4 \sqrt{\delta -4}+(\delta +1) \log \left(\frac{4}{\delta -1}\right)+4 \sqrt{\delta } \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\delta -4) \delta }-\sqrt{\delta }}{\delta -\sqrt{\delta -4}}\right)-1\right). }$

figura

Questa figura si sovrappone a un diagramma di su un istogramma di realizzazioni di . I due sono quasi indistinguibili, suggerendo la correttezza della formula per . $h$ $10^6$ $(a-d)^2 + 4bc$ $h$

Quella che segue è una soluzione Mathematica quasi senza cervello, a forza bruta . Automatizza praticamente tutto ciò che riguarda il calcolo. Ad esempio, calcolerà anche l'intervallo della variabile risultante:

ClearAll[ a, b, c, d, ff, gg, hh, g, h, x, y, z, zMin, zMax, assumptions];
assumptions = 0 <= a <= 1 && 0 <= b <= 1 && 0 <= c <= 1 && 0 <= d <= 1; 
zMax = First@Maximize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];
zMin = First@Minimize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];

Ecco tutta l'integrazione e la differenziazione. (Sii paziente; calcolare richiede un paio di minuti.) $H$

ff[x_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[(a - d)^2 <= x], {a, 0, 1}, {d, 0, 1}];
gg[y_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[4 b c <= y], {b, 0, 1}, {c, 0, 1}];
g[y_]  := Evaluate@FullSimplify@D[gg[y], y];
hh[z_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[ff[-y + z] g[y], {y, 0, 4}, 
          Assumptions -> zMin <= z <= zMax];
h[z_]  :=  Evaluate@FullSimplify@D[hh[z], z];

Infine, una simulazione e un confronto con il grafico di : $h$

x = RandomReal[{0, 1}, {4, 10^6}];
x = (x[[1, All]] - x[[4, All]])^2 + 4 x[[2, All]] x[[3, All]];
Show[Histogram[x, {.1}, "PDF"], 
 Plot[h[z], {z, zMin, zMax}, Exclusions -> {1, 4}], 
 AxesLabel -> {"\[Delta]", "Density"}, BaseStyle -> Medium, 
 Ticks -> {{{0, "0"}, {1, "1"}, {4, "4"}, {5, "5"}}, Automatic}]

— whuber
fonte

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(+1), in particolare per ricordare alle persone che, invece dicono delle circonvoluzioni della densità, "Spesso aiuta a usare le funzioni di distribuzione cumulativa", specialmente quando hanno una forma così semplice come qui. E anche tu sei stato dannatamente veloce.

— Alecos Papadopoulos,

Sembra una soluzione chiara che mi piacerebbe accettare, subito dopo averlo capito. Sono più un uomo di calcolo che un probabilista; in questo momento ho tre domande: i) come hai usato il CDF per ottenere e , ii) perché ci sono e sotto l'integrale per , e iii) come fai dalla sua forma che il risultato della soluzione sarà a tratti?

F (x)

$F(x)$

G (y)

$G(y)$

F

$F$

g

$g$

H

$H$

— corey979,

(1) e sono i CDF. Sono calcolati dalla definizione di un CDF, come indicato dalle prime uguaglianze dopo le loro prime apparizioni. I dettagli dovrebbero essere evidenti nel codice che ho inserito. (2) Questa è la formula di convoluzione per una somma (spiegata più dettagliatamente in un calcolo simile su stats.stackexchange.com/a/144237 ). (3) Ho inserito un link ad un altro thread sulle proprietà delle distribuzioni uniformi.

F

$F$

G

$G$

— whuber

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Come l'OP e il whuber, userei l'indipendenza per suddividere questo in problemi più semplici:

$X = (a-d)^2$ $X$ $f(x)$

$Y = 4 b c$ $Y$ $g(y)$

$X + Y$ TransformSum

TransformSum[{f,g}, z]

che restituisce il pdf di $Z = X + Y$

Ecco una trama del pdf appena derivata, diciamo $h(z)$

Controllo rapido Monte Carlo

Il diagramma seguente confronta un'approssimazione empirica di Monte Carlo del pdf (blu ondulato) con il pdf teorico derivato sopra (tratteggiato rosso). Sembra a posto.

— Wolfies
fonte