Distribuzione approssimativa del prodotto di N normale iid? Caso speciale μ≈0

Dato iid e , cercando: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

approssimazione accurata della distribuzione in forma chiusa di $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
approssimazione asintotica ( esponenziale ?) dello stesso prodotto

Questo è un caso speciale di una domanda più generale . $\mu_X \approx 0$

— Andrei Pozolotin
fonte

1. Hai qualche informazione su

? (Sarebbe bello se tutto

, per esempio.) (2) Un'approssimazione normale asintotica sarà orribile , perché

asintoticamente non sembrerà lontanamente normale.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

Ho appena avuto un gioco veloce con questo. Se sei interessato, è possibile ottenere una soluzione in forma chiusa esatta per il prodotto di

variabili casuali che sono iid

. Il case diverso da zero

rende le cose molto più complicate.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— Lupi,

@whuber (1) dopo aver fatto un po 'di monte carlo con alcuni diversi

, ho scoperto che la distribuzione di

si comporta piuttosto bene per

; ora vorrei trovare una bella espressione per

simile a come

abbia alcune belle approssimazioni. Ho costruito alcune approssimazioni tramite l'espansione di Taylor, ma si comportano male. (2) bene,

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$ sicuramente "sembra" una somma di normale con chi al quadrato, quindi

può essere ridotto alla normalità, se l'approssimazione "lo dimostra".

F

$F$

— Andrei Pozolotin,

Quando

sarà ben approssimato da una distribuzione lognormale (come mostra un'applicazione del teorema di Barry-Esseen per

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@whuber l'applicazione diretta di Barry-Esseen fornisce

, che è davvero bello, ma perde una struttura:

dovrebbe essere negativo,

dovrebbe dipendere da

, ecc. Forse, ci sono modi migliori per applicarlo?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

È possibile ottenere una soluzione esatta nel caso della media zero (parte B).

Il problema

$(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

$\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Soluzione

Il pdf del prodotto di due di queste normali è semplicemente:

... dove sto usando la TransformProductfunzione dal pacchetto mathStatica per Mathematica . Il dominio del supporto è:

Il prodotto di 3, 4, 5 e 6 Normals si ottiene applicando ripetutamente la stessa funzione (qui quattro volte):

... dove MeijerGindica la funzione Meijer G.

$n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Controllo rapido Monte Carlo

Ecco un rapido confronto tra:

$n = 6$ $\sigma=3$
al pdf empirico di Monte Carlo pdf: curva a spirale blu

Sembra a posto! [la curva del Monte ondulata blu oscura l'esatta curva tratteggiata rossa]

— Wolfies
fonte

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$