Comprensione della formula di differenziazione frazionaria

Ho una serie e vorrei modellarla come un processo ARFIMA (aka FARIMA). Se è integrato nell'ordine (frazionario) , vorrei differenziarlo frazionalmente per renderlo fermo.$y_t$$y_t$$d$

Domanda : la seguente formula che definisce la differenza frazionaria è corretta?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Qui indica la differenza frazionaria dell'ordine .)$\Delta^d$$d$

Baso la formula su questo articolo di Wikipedia su ARFIMA , capitolo ARFIMA ( ), ma non sono sicuro di averlo ottenuto correttamente.$0,d,0$

Sì, sembra essere corretto. Il filtro frazionario è definito dall'espansione binomiale:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Si noti che è l'operatore di ritardo e che questo filtro non può essere semplificato quando . Ora considera il processo:$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

In espansione, otteniamo:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

che può essere scritto come:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Vedi Asset Price Dynamics, Volatility and Prediction di Stephen J. Taylor (p. 243 nella ed. 2007) o Time Series: Theory and Methods di Brockwell e Davis per ulteriori riferimenti.