Quanto segue è per casuali variabili valutate. L'estensione ad altri spazi è semplice se sei interessato. Direi che la seguente definizione leggermente più generale è più intuitiva rispetto a considerare separatamente le funzioni di densità, massa e distribuzione cumulativa.R−
Includo alcuni termini matematici / probabilistici nel testo per renderlo corretto. Se non si ha familiarità con questi termini, l'intuizione è ugualmente ben afferrata dal solo pensare agli "insiemi di Borel" come a "qualsiasi sottoinsieme di che mi viene in mente", e alla variabile casuale a il risultato numerico di un esperimento con un probabilità associata.R
Let uno spazio di probabilità e X ( ω ) un R - valore variabile casuale in questo spazio.(Ω,F,P)X(ω)R−
La funzione set , in cui A è un insieme Borel, è detta distribuzione di X .Q(A):=P(ω∈Ω:X(ω)∈A)AX
In parole, la distribuzione ti dice (parlando in senso lato), per ogni sottoinsieme di , la probabilità che X abbia un valore in quell'insieme. Si può dimostrare che Q è completamente determinato dalla funzione F ( x ) : = P ( X ≤ x ) e viceversa. Per fare ciò - e salto i dettagli qui - costruisci una misura sugli insiemi di Borel che assegnano la probabilità F ( x ) a tutti gli insiemi ( - ∞ , x ) e sostengono che questa misura finita concorda con Q su unRXQF(x):=P(X≤x)F(x)(−∞,x)Q sistema che genera il Borel σ - algebra.π−σ−
In tal caso, può essere scritto come Q ( A ) = ∫ A f ( x ) d x quindi f è una funzione di densità per Q e puoi vedere, sebbene questa densità non sia determinata in modo univoco (considera le modifiche su insiemi di Lebesgue misura zero), ha senso anche parlare di f come distribuzione di X . Di solito, però, noi lo chiamiamo la funzione di densità di probabilità di X .Q(A)Q(A)=∫Af(x)dxfQfXX
Allo stesso modo, se succede che può essere scritto come Q ( A ) = ∑ i ∈ A ∩ { … , - 1 , 0 , 1 , … } f ( i ) , allora ha senso parlare di f come distribuzione di X sebbene di solito la chiamiamo funzione di massa di probabilità.Q(A)Q(A)=∑i∈A∩{…,−1,0,1,…}f(i)fX
Pertanto, ogni volta che leggi qualcosa come " segue una distribuzione uniforme su [ 0 , 1 ] ", significa semplicemente che la funzione Q ( A ) , che ti dice la probabilità che X assuma valori in determinati insiemi, è caratterizzata dal funzione di densità di probabilità f ( x ) = I [ 0 , 1 ] o funzione di distribuzione cumulativa F ( x ) = ∫ x - ∞ f ( t )X[0,1]Q(A)Xf(x)=I[0,1] .F(x)=∫x−∞f(t)dt
Un'ultima nota sul caso in cui non si fa menzione di una variabile casuale, ma solo di una distribuzione. Si potrebbe dimostrare che data una funzione di distribuzione (o una funzione di distribuzione di massa, densità o cumulativa), esiste uno spazio di probabilità con una variabile casuale che ha questa distribuzione. Pertanto, non vi è sostanzialmente alcuna differenza nel parlare di una distribuzione o di una variabile casuale che ha quella distribuzione. È solo una questione di concentrazione.