Come calcolare l'intervallo di previsione per una regressione multipla OLS?

Qual è la notazione algebrica per calcolare l'intervallo di predizione per la regressione multipla?

Sembra sciocco, ma ho difficoltà a trovare una chiara notazione algebrica di questo.

multiple-regression least-squares prediction-interval

— Michael
fonte

Prendi un modello di regressione con $N$ osservazioni e $k$ regressori:

y = X β + u

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

Dato un vettore , il valore previsto per tale osservazione sarebbe Uno stimatore coerente della varianza di questa previsione è dove L'errore di previsione per un particolare è La covarianza zero tra e implica che e uno stimatore coerente di ciò è $\mathbf{x_0}$

E [y | X_{0}] = {\hat{y}}_{0} = X_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$

S^{2} = \frac{Σ_{io = 1}^{N} {\hat{u}}_{io}^{2}}{N - K} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$

y_{0}

$y_0$

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = X_{0} β + u_{0} - {\hat{y}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$

u_{0}

$u_0$

\hat{β}

$\hat \beta$

V un' r [\hat{e}] = V un' r [{\hat{y}}_{0}] + V un' r [u_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$

{\hat{V}}_{f} = S^{2} \cdot X_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} X_{0}^{'} + S^{2} .

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

L' intervallo di sarà: L' intervallo di sarà più ampio: $1-\alpha$ $\rm confidence$

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{f}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— Dimitriy V. Masterov
fonte

La risposta sopra è molto ben fatta, ma penso che questa fonte aiuti a fornire un certo contesto alla domanda.

— June Skeeter,

@Dimitriy Credo che il tuo secondo eqn dovrebbe avere una carota / cappello, '^', sopra il

β

$\beta$

— Don Slowik,

Non è l'errore di previsione del

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$

— Don Slowik,