Misure ripetute ANOVA: qual è il presupposto della normalità?

Sono confuso sull'ipotesi di normalità nelle misure ripetute ANOVA. In particolare, mi chiedo che tipo di normalità debba essere esattamente soddisfatta. Nel leggere la letteratura e le risposte sul CV, mi sono imbattuto in tre formulazioni distinte di questo assunto.

La variabile dipendente all'interno di ciascuna condizione (ripetuta) dovrebbe essere distribuita normalmente.

Si afferma spesso che rANOVA ha gli stessi presupposti di ANOVA, oltre alla sfericità. Questa è l'affermazione nelle statistiche di Field's Discovering , nonché nell'articolo di Wikipedia sull'argomento e nel testo di Lowry .
I residui (differenze tra tutte le possibili coppie?) Dovrebbero essere distribuiti normalmente.

Ho trovato questa affermazione in più risposte su CV ( 1 , 2 ). Per analogia di rANOVA con il test t accoppiato , questo potrebbe anche sembrare intuitivo.
La normalità multivariata dovrebbe essere soddisfatta.

Wikipedia e questa fonte ne parlano. Inoltre, so che rANOVA può essere scambiato con MANOVA, il che potrebbe meritare questa affermazione.

Sono equivalenti in qualche modo? So che la normalità multivariata significa che qualsiasi combinazione lineare dei DV è normalmente distribuita, quindi 3. includerebbe naturalmente 2. se capissi correttamente quest'ultimo.

Se questi non sono gli stessi, qual è il "vero" presupposto della rOVOVA? Potete fornire un riferimento?

Mi sembra che ci sia molto supporto per la prima affermazione. Ciò non è in linea, tuttavia, con le risposte generalmente fornite qui.

Modelli misti lineari

Grazie al suggerimento di @Uutobi, ora capisco come rANOVA può essere riformulato come modello misto lineare. In particolare, per modellare il modo in cui la pressione sanguigna cambia nel tempo, modellerei il valore atteso come: dove sono misurazioni della pressione sanguigna, il sangue medio pressione del soggetti -esimo, e come la tempo esimo l' soggetto -esimo è stata misurata, attestante che il cambiamento

E [y_{i j}] = a_{i} + b_{i} t_{i j},

$\mathrm{E}\left[y_{ij}\right]=a_{i}+b_i t_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

a_{i}

$a_{i}$

i

$i$

t_{i j}

$t_{ij}$

j

$j$

i

$i$

b_{i}

$b_i$ la pressione sanguigna è diversa anche per soggetto. Entrambi gli effetti sono considerati casuali, poiché il campione di soggetti è solo un sottoinsieme casuale della popolazione, il che è di interesse primario.

Alla fine, ho cercato di pensare a cosa significhi per la normalità, ma con scarso successo. Per parafrasare McCulloch e Searle (2001, p. 35. Eq. (2.14)):

\begin{aligned} E [y_{i j} | a_{i}] & = a_{i} \\ y_{i j} | a_{i} & \sim i n d e p . N (a_{i}, σ^{2}) \\ a_{i} & \sim i . i . d . N (a, σ_{a}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[y_{ij}|a_i\right] &= a_i \\[5pt] y_{ij}|a_i &\sim \mathrm{indep.}\ \mathcal{N}(a_i,\sigma^2) \\[5pt] a_i &\sim \mathrm{i.i.d.}\ \mathcal{N}(a,\sigma_a^2) \end{align}$

Capisco questo per dire che

4. I dati di ciascun individuo devono essere normalmente distribuiti, ma questo è irragionevole da testare con pochi punti temporali.

Prendo la terza espressione per dire che

5. le medie dei singoli soggetti sono normalmente distribuite. Si noti che queste sono altre due distinte possibilità in aggiunta alle tre sopra menzionate.

McCulloch, CE & Searle, SR (2001). Modelli generalizzati, lineari e misti . New York: John Wiley & Sons, Inc.

— Fato39
fonte

solo per darti un indizio. È possibile dichiarare il modello rANOVA in termini di modello lineare lineare (LMM). Una volta che hai un LMM, vedi immediatamente il presupposto della normalità implicita. Vedi qui ( eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470073713.html ) per alcune teorie sugli LMM

— utobi,

Grazie, @utobi, per il riferimento che hai fornito! In effetti, ho studiato i suoi primi due capitoli, ma non sono riuscito a capire la risposta alla mia domanda. L'ho aggiornato per riflettere i progressi limitati che ho fatto.

— Fato39,

Questa mi sembra una domanda perfettamente valida. Sto votando per lasciare aperto.

— gung - Ripristina Monica

a_{i}

$a_i$

σ_{a}^{2}

$\sigma_a^2$

Questo è il modello ANOVA di misure ripetute più semplice se lo trattiamo come un modello univariato:

y_{i t} = a_{i} + b_{t} + ϵ_{i t}

$y_{it} = a_{i} + b_{t} + \epsilon_{it}$

$i$ $t$ $y_{it}$ $a_{i}$ $b_{t}$ $\epsilon_{it}$

$a_{i}$ $F$ $b_{1}=...=b_{t}=0$

$F$

ϵ_{i t} \sim N (0, σ) these errors are normally distributed and homoskedastic

$\begin{equation} \epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(0,\sigma)\quad\text{these errors are normally distributed and homoskedastic} \end{equation}$

$F$

Se vuoi trattare le misure ripetute ANOVA come un modello multivariato, le ipotesi di normalità potrebbero essere diverse e non posso ampliarle oltre a ciò che tu e io abbiamo visto su Wikipedia.

— Eteroschedastico Jim
fonte

La spiegazione della normalità dell'ANOVA a misura ripetuta è disponibile qui:

Comprensione delle ipotesi ANOVA su misura ripetuta per una corretta interpretazione dell'output SPSS

$3 \rightarrow 1$ $3 \rightarrow 2$ $5$

— Federico Tedeschi
fonte

Federico, grazie per la tua risposta. Ero a conoscenza di questa spiegazione (vedi il mio punto numero 2 e il primo link CV menzionato lì). Mentre apprezzo la qualità delle risposte sul CV, sono arrivato a risposte diverse (contrastanti?) Alla mia domanda quando ho consultato diverse fonti. Preferirei quindi una fonte che affronti in modo esplicito o conclusivo le sfumature che ho citato nei miei cinque punti sopra.

— Fato39,