Questa distribuzione discreta ha un nome?

Questa distribuzione discreta ha un nome? Per $i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

Mi sono imbattuto in questa distribuzione da quanto segue: ho un elenco di elementi classificati in base a una funzione di utilità. Voglio selezionare casualmente uno degli elementi, orientando verso l'inizio dell'elenco. Quindi, prima scelgo un indice tra 1 e uniformemente. Seleziono quindi un elemento tra gli indici 1 e . Credo che questo processo porti alla distribuzione di cui sopra. $N$ $j$ $N$ $j$

— Tom
fonte

Questa non è una distribuzione: non è normalizzata.

— whuber

@whuber L'ho pensato all'inizio (e commentato prima di rendermi conto di aver frainteso e rimosso il commento), ma alla fine ho capito male la definizione. A meno che non abbia un ulteriore equivoco, si tratta di una funzione di massa di probabilità normalizzata.

— Glen_b

È normalizzato. 1/1 apparirà nella somma esattamente una volta (sarà in f (1)). 1/2 apparirà esattamente due volte (sarà in f (1) ef (2)). ecc. Quindi la somma di tutte queste somme sarà N e la costante normalizzante viene mostrata come 1 / N. controlla.

— rcorty,

Più precisamente, però, non so come si chiama questa distro. Inoltre non so come il processo che hai descritto porti a questa distro. Un pensiero che ho avuto è che suona come una versione discreta di un processo rivoluzionario, che è molto googlable.

— rcorty,

@Glen_b Grazie. Lo stavo leggendo sul mio telefono, il che non rendeva abbastanza chiaramente.

f

$f$

— whuber

Risposte:

Si dispone di una versione discretizzata della distribuzione del registro negativo, ovvero la distribuzione il cui supporto è e il cui pdf è . $[0, 1]$ $f(t) = - \log t$

Per vedere questo, ridefinirò la tua variabile casuale per prendere valori nell'insieme invece di e chiamare il conseguente distribuzione di . Quindi, la mia richiesta è quella $\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$ $\{0, 1, 2, \ldots, N \}$ $T$

P r (T = \frac{t}{N}) \to - \frac{1}{N} \log (\frac{t}{N})

$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$

come mentre è mantenuto (approssimativamente) costante. $N, t \rightarrow \infty$ $\frac{t}{N}$

Innanzitutto, un piccolo esperimento di simulazione che dimostra questa convergenza. Ecco una piccola implementazione di un campionatore dalla tua distribuzione:

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

Ecco un istogramma di un grande campione prelevato dalla tua distribuzione:

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

inserisci qui la descrizione dell'immagine

ed ecco il pdf logaritmico sovrapposto:

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Per capire perché si verifica questa convergenza, inizia con la tua espressione

P r (T = \frac{t}{N}) = \frac{1}{N} Σ_{j = t}^{N} \frac{1}{j}

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$

e moltiplicare e dividere per $N$

P r (T = \frac{t}{N}) = \frac{1}{N} Σ_{j = t}^{N} \frac{N}{j} \frac{1}{N}

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$

La somma ora è una somma di Riemann per la funzione , integrata da a . Cioè, per grande , $g(x) = \frac{1}{x}$ $\frac{t}{N}$ $1$ $N$

P r (T = \frac{t}{N}) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^{1} \frac{1}{X} d X = - \frac{1}{N} \log (\frac{t}{N})

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$

che è l'espressione a cui volevo arrivare.

— Matthew Drury
fonte

Prego. Questa è stata un'ottima domanda e mi sono divertito molto a risolverlo.

— Matthew Drury,

Questo sembra essere correlato alla distribuzione Whitworth. (Non credo che sia la distribuzione di Whitworth, poiché se ricordo bene, è la distribuzione di un insieme di valori ordinati, ma sembra essere collegato ad esso e si basa sullo stesso schema di sommatoria.)

C'è qualche discussione sul Whitworth (e numerosi riferimenti) in

Anthony Lawrance e Robert Marks, (2008)
"Distribuzioni di dimensioni aziendali in un settore con risorse limitate",
Applied Economics , vol. 40, numero 12, pagine 1595-1607

(Sembra esserci una versione di lavoro qui )

Vedi anche

Nancy L Geller, (1979)
Un test di significato per la distribuzione di Whitworth,
Journal of American Society for Information Science , Vol.30 (4), pp.229-231

— Glen_b - Ripristina Monica
fonte

Per rendere questa risposta autonoma, potresti fornire una definizione della distribuzione di Whitworth e forse fornire qualche parola di spiegazione riguardo alla connessione che vedi?

— whuber

@whuber Sì, dovrebbe essere un commento così com'è. Modificherò alcuni dettagli ma finirà molto più a lungo.

— Glen_b -Restate Monica,

Solo un qualche tipo di definizione andrebbe bene.

— whuber

Grazie, questo è stato compreso, ma comunque sarà il risultato.

— Glen_b